Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol’d et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la […]

A chaque nombre naturel avec n2 chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant \(\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2.\) Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n2 […]

Trois femmes se promènent sur une allée de 100 m de long, d’un bout à l’autre. Lorsqu’une femme atteint la fin de l’allée elle fait demi-tour. Les vitesses respectives des trois femmes sont constantes et valent 1 km/h, 2 km/h et 3 km/h. Montrer qu’il existe un intervalle de temps d’une durée au moins d’une […]

En probabilités on dit qu’un dé est pipé si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. Dans le cas habituel, celui d’un dé non-pipé (ou dé parfait), la probabilité pour chaque face est 1/6 et on parle de variable aléatoire équirépartie. Si on lance deux dés habituels et si on prend […]

Un polynôme est unitaire (ou normalisé) si le coefficient de son terme de plus haut degré est 1. Voici un exercice instructif sur les polynômes unitaires. Soient a et b deux nombres complexes distincts et P et Q des polynômes unitaires dans \(\mathbb{C}\)[X]. Si l’ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est […]