Enigme, devinette, petit problème, casse-tête, exo, exercices

Points colorés dans l’espace

La question suivante est certainement dans le goût de certains lecteurs du blog, un typique petit problème sur lequel nous matheux aimons perdre notre temps… Tout point de l’espace (trois dimensions) est coloré avec une de cinq couleurs, et toutes ces cinq couleurs interviennent. Montrer qu’il existe un plan contenant au moins quatre couleurs.

Exercice d’arithmétique

Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol’d et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la […]

Matrices intercalées

Deux exos sympas sur les matrices. Exercice 1. Soient \(M_k\), k=1,…,n des matrices carrées complexes de même taille, toutes non-nulles. Existe-t-il toujours une matrice carrée A telle que \(AM_1AM_2A\:\cdots\: AM_nA\neq0\;\;?\) Exercice 2. On note T la transposition des matrices. Soient A,B,C,D, des matrices carrées telles que T(A)=BCD, T(B)=CDA, T(C)=DAB et T(D)=ABC. Démontrer que \((ABCD)^3=ABCD.\)

Somme de certains déterminants

A chaque nombre naturel avec n2 chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant \(\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2.\) Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n2 […]

La mouche et les araignées

J’ai acheté le numéro 391 du magazine Pour la Science (mai 2010) car il y a un article sur l’harmonie musicale. Je suis plutôt déçu de cet article (j’écrirai une autre fois pourquoi), et finalement c’est un autre, même pas mentionné sur la couverture, que je trouve beaucoup plus intéressant&nbsp: Les parasites manipulateurs de F. […]

La promenade

Trois femmes se promènent sur une allée de 100 m de long, d’un bout à l’autre. Lorsqu’une femme atteint la fin de l’allée elle fait demi-tour. Les vitesses respectives des trois femmes sont constantes et valent 1 km/h, 2 km/h et 3 km/h. Montrer qu’il existe un intervalle de temps d’une durée au moins d’une […]

Germe de fonction infiniment dérivable

Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd’hui lors d’une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point : Existe-t-il […]

Ceci n’est pas pipé

En probabilités on dit qu’un dé est pipé si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. Dans le cas habituel, celui d’un dé non-pipé (ou dé parfait), la probabilité pour chaque face est 1/6 et on parle de variable aléatoire équirépartie. Si on lance deux dés habituels et si on prend […]

L’application comatrice

Le cofacteur d’indice (j,k) d’une matrice carrée A est \((-1)^{k+j}\det(A_{kj})\) où \(A_{kj}\) désigne la matrice qu’on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors \(A_{kj}\) est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1) \(A_{kj}= \begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} […]

Racines des polynômes unitaires

Un polynôme est unitaire (ou normalisé) si le coefficient de son terme de plus haut degré est 1. Voici un exercice instructif sur les polynômes unitaires. Soient a et b deux nombres complexes distincts et P et Q des polynômes unitaires dans \(\mathbb{C}\)[X]. Si l’ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est […]