Exercice de géométrie élémentaire

Un lecteur m’a posé une question sur la construction géométrique suivante.

On dessine un rectangle composés de carrés concaténés de 1 par 5 dans lequel on trace les diagonales des rectangles (1,4) et (1,5).

On trace la perpendiculaire à la diagonale (1,5) qui passe par le coin du rectangle (1,5).

Ensuite on trace la perpendiculaire qui passe par l’intersection entre la perpendiculaire précédente et la diagonale (1,4).

Le nouveau rectangle qu’on a créé fait exactement 1 par 21 !

Questions : Est-ce un fait mathématique trivial ? Existe-t-il une ou plusieurs formules pour trouver des rectangles plus grands de la même façon ? Je ne vous demande pas de me faire une démonstration mais je souhaiterais savoir si vous pouviez me diriger vers un livre qui traiterait de cela. (Références : Howard Crowhust et Pierre Coussy.)

Réponse : Je ne connais pas de livre concernant cette question. Il s’agit d’un exercice de géométrie analytique dont les calculs impliquent seulement des équations de droite et sont donc faisables par un lycéen en classe de seconde. Les voici.

Notons les points O, A et B comme suit:

Démontrons que le rectangle obtenu consiste de 21 rectangles concaténés. Autrement dit, il faut prouver que$$\frac{OA}{AB}=21.$$Pour cela nous devons chercher les coordonnées du point B, qui est l’intersection des droites (OB) et (AB). On a les équations de droites$$\left(OB\right):x=4y,\left(AB\right):5\times (x-5)+1\times (y-1)=0.$$[NB: Pour déterminer la dernière équation, il suffit de remarquer que la droite (AB) passe par le point A=(5,1) et qu’elle est orthogonale au vecteur (5,1).]
Le système formé par ces deux équations donne les coordonnées du point d’intersection B. Après un petit calcul on obtient :$$B=\left(\frac{104}{21},\frac{26}{21}\right).$$Avant de calculer la fraction OA/AB nous calculons son carré. (C’est plus simple à écrire car les carrés des longueurs sont donnés par le théorème de Pythagore.)$$\begin{array}{ccc}\frac{O{A}^2}{A{B}^2}& =& \frac{5^2+1^2}{(\frac{104}{21}-5{)}^2+(\frac{26}{21}-1{)}^2}\\ & =& \frac{(5^2+1^2)\times {21}^2}{(104-5\times 21{)}^2+(26-1\times 21{)}^2}\\ & =& \frac{(5^2+1^2)\times {21}^2}{(-1{)}^2+5^2}={21}^2.\end{array}$$Par conséquent OA/AB=21, ce qu’il fallait démontrer. D’ailleurs, ce n’est point trivial car il fallait calculer un peu. Mais peut-être quelqu’un trouvera-t-il un raisonnement géométrique simple, sans calcul ?

Généralisation : Au lieu de prendre 5 carrés au départ, prenons n carrés; et au lieu de faire passer la deuxième diagonale par le point (4,1) faisons la passer par (m,1) où m est un entier strictement positif et plus petit que n. On est amené aux équations de droites$$\left(OB\right):x=my,\left(AB\right):n(x-n)+y-1=0.$$On obtient$$B=\left(\frac{m(n^2+1)}{mn+1},\frac{n^2+1}{mn+1}\right).$$Maintenant nous cherchons à savoir si la fraction OA/AB est un entier.$$\begin{array}{ccc}\frac{O{A}^2}{A{B}^2}& =& \frac{n^2+1}{[\frac{m(n^2+1)}{mn+1}-n{]}^2+[\frac{n^2+1}{mn+1}-1{]}^2}\\ & =& \frac{(n^2+1)(mn+1{)}^2}{\left[m\right(n^2+1)-n(mn+1){]}^2+[(n^2+1)-(mn+1){]}^2}\\ & =& \frac{(n^2+1)(mn+1{)}^2}{[m-n{]}^2+[n^2-mn{]}^2}=\frac{(n^2+1)(mn+1{)}^2}{(n-m{)}^2+[n(n-m){]}^2}\\ & =& \frac{(n^2+1)(mn+1{)}^2}{(n-m{)}^2(1+n^2)}=\frac{(mn+1{)}^2}{(n-m{)}^2},\\ \frac{OA}{AB}& =& \frac{mn+1}{n-m}.\end{array}$$Cette fraction n’est pas un entier, sauf si le dénominateur simplifie complètement.

Conclusion : La construction donne des carrés concaténés si et seulement si n–m divise mn+1 ; dans ce cas le nombre de carrés vaut (mn+1)/(n–m).

En particulier, lorsque n–m=1 la construction donne mn+1 carrés concaténés.
Quelques exemples :

• Si m=4 et n=5 on obtient 21 carrés concaténés.
• Si m=3 et n=5 on obtient 8 carrés concaténés.
• Si m=3 et n=6 on n’obtient pas de carrés concaténés.