Somme de certains déterminants
A chaque nombre naturel avec n2 chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant
\(\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=2.\)
Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n2 chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)
Pour n>1 ça fait 0! (100% sur à partir de 3, mais 2 ça devrait marcher aussi!)
Pour n=1 ça fait 45!
Non, pour n=2 ça fait 20250. En effet, la somme divisée par 9000 peut être considérée comme l’espérance d’une variable aléatoire de la forme ad-bc, où a,b,c,d sont indépendantes, a est d’espérance 5 et b,c,d sont d’espérance 4,5. La somme vaut donc 9000 x (5×4,5 – 4,5×4,5) = 9000 x 0,5 x 4,5 = 450 x 45 = 20250.