Thalès ou non Thalès?
En France le théorème de Thalès désigne une version géométrique de la règle de trois ou règle de proportionnalité ; d’ailleurs en allemand on l’appelle Strahlensatz
ce qui signifie théorème des rayons
, et on réserve le nom Satz von Thales
aux cercles de Thalès. Il y a déjà deux ans j’ai posé ici un petit problème de géométrie dont la solution utilise la géométrie projective (elle se trouve ici voir page 3).
Recemment un étudiant, spécialiste de Thalès, m’a donné la réponse suivante: Notons A le premier poteau, B le second et O le point sur la route qui se trouve à l’horizon. Alors le troisième poteau C est déterminé par l’équation OA/OB = OB/OC.
Voici une belle question de géométrie élémentaire : Cette réponse est-elle correcte?
cf. la notion de division harmonique.
Le problème original, sa solution et la question annexe sont jolis!
Sauf erreur, je trouve en effet que O et B partagent harmoniquement le segment [A,C]. En terme des abcisses de A,B,C mesurées à partir de l’origine O, cela signifie que
\(\frac 2 b=\frac 1 a +\frac 1 c\)
et non \(b^2=ac\).
En Angleterre, on désigne par Théorème de Thalès le fait que ABC est rectangle en A si [BC] est le diamètre d’un cercle sur lequel A se situe. En France, on a décidé de nommer les théorèmes pour des raisons pédagogiques au XIXe siècle, et on a choisi les noms de Thalès, Pythagore, Chasles, etc. plus pour rendre hommage à ces savants que pour coller à la vérité historique.
En effet, comme l’indiquent JLT et Pierre Lecomte, le plus facile est d’utiliser la notion de division harmonique (voir par exemple ici ou là).
Pour voir que O et B partagent harmoniquement le segment [A,C] on peut par exemple utiliser le
On prend alors comme faisceau les quatre droites (PA), (PB), (PC) et (PO) et comme parallèle à (PO) la droite (CC’). En construisant une route parallèle de même largeur on voit que le critère du théorème est bien vérifié:
Cela prouve que la construction via Thalès est fausse car, comme l’a déjà dit Pierre Lecomte, Thalès signifie a/b=b/c mais la division harmonique signifie 2/b=1/a+1/c.
D’ailleurs, comme on vient de me le faire remarquer, notre construction via la géométrie projective n’est qu’une approximation de la réalité car la courbure de la terre fait que l’horizon visuel ne coïncide pas avec l’horizon théorique d’un plan étendu infiniment. Les droites sont donc en réalité des courbes…
Je raisonnais simplement comme ceci :
Une perspective est une homographie, donc conserve le birapport, donc conserve les divisions harmoniques. Pour voir que O, C, B, A forment une division harmonique, il suffit donc de voir que \(\infty, C_1,B_1,A_1\) forment une division harmonique, où \(\infty, C_1,B_1,A_1\) sont les points "dans le monde reel". C’est effectivement le cas car \(B_1\) est le milieu de \( [A_1,C_1] \).