Matrices intercalées
Deux exos sympas sur les matrices.
Exercice 1. Soient \(M_k\), k=1,…,n des matrices carrées complexes de même taille, toutes non-nulles. Existe-t-il toujours une matrice carrée A telle que
\(AM_1AM_2A\:\cdots\: AM_nA\neq0\;\;?\)
Exercice 2. On note T la transposition des matrices. Soient A,B,C,D, des matrices carrées telles que T(A)=BCD, T(B)=CDA, T(C)=DAB et T(D)=ABC. Démontrer que
\((ABCD)^3=ABCD.\)
Pour le premier exo, on doit pouvoir y arriver en démontrant le lemme suivant:
soit M une matrice non nulle, x un vecteur non nul, V un voisinage ouvert de x, U un ouvert non vide de GL(n,C). Alors il existe un ouvert U’ non vide inclus dans U et un voisinage ouvert V’ de x contenu dans V tel que MAy soit non nul pour tout \(y\in V’\) et \(A\in U’\).
Le 2e exo est un petit calcul de 4 ou 5 lignes.
Oui, c’est effectivement une conséquence de ce lemme (attention, le n ne coïncide pas forcément avec le n de l’énoncé).
Pour le calcul de la deuxième question, ça dépend comment on s’y prend. Le mien tient en deux lignes seulement 😉
Je n’arrive pas à faire plus court que :
(ABCD)^3 = ABC(DAB)(CDA)(BCD)
= ABC T(C) T(B) T(A)
= ABC T(ABC)
= ABCD
C’est la même preuve que la mienne ! Avec une autre mise en page on peut l’écrire en une ou deux lignes 😉