Une limite en algèbre linéaire
Puisque mon dernier exo sur les déterminants n’était pas terrible, j’en propose un autre 😉 Il porte encore sur les matrices à coefficients dans {1,-1}, mais cette fois il y a un petit grain d’analyse.
On note Mn le maximum des déterminants de matrices carrées d’ordre n à coefficients dans {±1}. Est-ce que la racine n-ième de Mn converge lorsque n tend vers l’infini?
j’ai une suite de matrice de taille n à coefficient dans \(\pm 1\)
\(\begin{pmatrix}
1 & \dots &\dots &\dots &1\\
-1& \ddots & & & \vdots\\
\vdots &\ddots&\ddots & &\vdots\\
\vdots & &\ddots &\ddots &\vdots\\
-1 &\dots &\dots & -1 & 1\\
\end{pmatrix}\)
dont le déterminant vaut \(2^{n-1}\), si le maximum \(M_n\) est bien atteint pour cette matrice alors la racine n-ième converge vers 2. yapuka …
Dans le cas général j’essaie de me ramener à la matrice :
\( \begin{pmatrix}1 & \dots &\dots &\dots &1\\-1& \ddots & & & \vdots\\\vdots &\ddots&\ddots & &\vdots\\\vdots & &\ddots &\ddots &\vdots\\-1 &\dots &\dots & -1 & 1\\\end{pmatrix} \)
1) on peut se ramener à chercher le maximum de |det(A)| sur les matrices de taile nxn à coefficients dans {1,-1} (si ce maximum correspond à une matrice de déterminant négatif on multiplie une colonne par -1 et c’est gagné)
2) on peut se ramener à chercher le maximum parmi les matrices n’ayant que des 1 sur la première ligne (si la matrice A donnant le maximum ne le vérifie pas il suffit de multiplier par -1 ses colonnes commençant par -1, ce qui multiplie le déterminant final par \((-1)^k\) et ne change pas |det(A)| )
3) de même, quitte à multiplier certaines lignes par -1, on peut se ramener à chercher le maximum parmi les matrices de la forme
\( \begin{pmatrix} 1 & \dots &\dots &\dots &1\\-1& *& \dots & \dots & *\\ \vdots &\vdots& & &\vdots\\ \vdots &\vdots& & &\vdots\\-1&* & \dots & \dots & *\\ \end{array} \)
4) Ensuite je sais que
a)on peut permuter les colonnes ou les lignes pour les trier dans l’ordre lexicographique (basé sur "-1<1") sans changer le maximum
b)dans une colonne(resp. ligne) je ne peux pas avoir que des -1 de la 2ième à la nième position sinon cette colonne (resp. ligne) serait égale au signe près à la première et le déterminant serait nul donc pas maximum
il me reste à assembler les choses pour arriver à la forme voulue mais là je sèche …
bon visiblement je suis parti sur une fausse piste … ce maximum est bien supérieur à \( 2^{n-1}\) donc mon raisonnement de départ ne tiens pas 🙁 J’ai essayé de calculer les premières valeurs du maximum \(M_n^{1/n}\) (ou tout au moins un minorant de ces valeurs), ça donne :
1. , 1.4142136 , 1.5874011 , 2. , 2.1689435 , 2.3299861 ,2.479397 , 2.632148 , 2.7574314 , 2.8456264
Si on a déjà entendu parler de "matrices de Hadamard" on devine facilement la réponse à l’exercice.
je connaissais pas les matrices de Hadamard, si je comprend bien ce qui est expliqué à l’adresse mathworld.wolfram.com/Had… le maximum du déterminant pour une matrice d’ordre n serait \(n^{n/2}\) donc la racine n-ième donnerait \(\sqrt{n}\) et donc cette suite diverge.
Maintenant si je comprends bien la question de Mathoman on doit pouvoir trouver une borne pour \(M_n\) qui sans être optimale assure la divergence de la suite des racines n-ièmes …
oui effectivement c’est très simple en connaissant les matrices de Hadamard. En partant de
\(H_1=\begin{pmatrix}1&1\\ -1& 1\end{pmatrix}\) et \( H_{n+1}=\begin{pmatrix}H_n&H_n\\ -H_n& H_n\end{pmatrix}\)
on a une suite de matrices de taille \( 2^n\times 2^n \) qui est de déterminant \( (2^n)^{2^n/2} \), c’est une sous-suite extraite de \( M_n \) pour laquelle la suite des racines n-ième diverge.