Il y a quelques jours l’algorithme YouTube m’a fait découvrir une vidéo dont le but est de calculer l’intégrale suivante : \[J(a)=\int_0^\pi\frac{t\sin(t)}{1+a^2-2a\cos(t)}\,\mathrm dt\,,\qquad a\in\mathbb R.\] Le calcul présenté utilise une fonction auxiliaire que je n’aurais jamais eu l’idée de trouver. Donc je me suis lancé le défi de trouver une méthode qui me semble plus naturelle ; je vais […]

Dans les calculs il y a des règles de priorités sur lesquelles tout le monde s’entend et qui simplifient les notations. Par exemple, les multiplications sont prioritaires aux additions: \[ a+bc = a+(bc), \qquad a+bc \neq (a+b)c.\] Et les puissances sont prioritaires aux multiplications: \[ ab^c = a(b^c), \qquad ab^c \neq (ab)^c.\] Les calculatrices et […]

Voici un petit exercice de calcul matriciel inspiré de mon enseignement de mathématiques aux étudiants en premier semestre d’économie. Évidemment je n’ai pas traité la deuxième question avec eux, elle est destinée pour mes lecteurs matheux. Considérons une économie constituée de seulement trois pays dont chacun est exportateur d’un seul produit agricole: ananas, banane et […]

Voici un exercice, pas très difficile, concernant des nombres entiers formés par des factorielles. Soient k1, … , kr, m1, … , mr des entiers naturels. Montrer que la factorielle \((k_1m_1\,+\,\cdots\,+\,k_rm_r)!\) est divisible par \(m_1!\:\cdots\:m_r!\;k_1!^{m_1}\:\cdots\:k_r!^{m_r}.\)

Un petit exercice concernant l’exponentielle matricielle, posé sur le blog de Pierre Lecomte, donne l’occasion de vous proposer l’exercice suivant. Soit A une matrice réelle inversible de taille n. On pose \(\sqrt{A}=\{ B\in M_n(\mathbb{R})\;\mid\; B^2=A\}\) et \(\log(A)=\{ B\in M_n(\mathbb{R})\;\mid\; \exp(B)=A\}.\) Montrer que l’ensemble \(\sqrt{A}\) est vide si et seulement si \(\log(A)\) l’est.