Enigme, devinette, petit problème, casse-tête, exo, exercices
La récurrence est un outil très performant pour démontrer des formules qui dépendent d’un nombre entier. Lorsqu’on l’enseigne on est content si les étudiants en ont compris le principe et savent rédiger correctement une preuve par récurrence. Mais il arrive que des preuves par récurrence sont un peu mécaniques et ont une valeur pédagogique pauvre […]
Avant d’avoir posté le dernier billet j’aurai dû me poser la question suivante. Quelles sont les germes f et g de fonctions holomorphes en 0 telles que f(0)=g(0)=0 et qui commutent, c’est-à-dire telles que fog=gof ? Clairement si f et g sont linéaires elles commutent. Une autre condition suffisante est l’existence d’un germe h tel […]
Voici un joli exercice pour un cours d’analyse complexe. Soient f et g deux fonctions distinctes, holomorphes et non-linéaires définies dans un voisinage de 0 et telles que f(0) et g(0) sont nuls et f‘(0) et g‘(0) sont non-nuls. Quelle est la limite en 0 de la fonction \(\frac{f\circ g-g\circ f}{f^{-1}\circ g^{-1}-g^{-1}\circ f^{-1}}\ ?\) Cet […]
Lorsqu’on enseigne un sujet élémentaire en mathématiques pendant plusieures annnées on pense souvent d’avoir fait le tour des théorèmes et preuves fondamentaux. C’est normal car on a lu des livres sur ce sujet, regardé les articles Wikipédia, étudié les polycopiés mis à disposition sur internet par d’autres enseignants et discuté avec des collègues sur certains […]
Voici un petit exercice de géométrie élémentaire dans l’espace. Il est inspiré par une question sur le blog de Pierre Lecomte et la petite discussion qui lui suivait concernant les symétries d’un cube. La molécule méthane CH4 est un tetraèdre régulier avec l’atome de carbone au centre. Déterminer, si possible avec un minimum de calcul, […]
Hier mon collègue Tahar Boulmezaoud m’a posé une belle devinette, juste au moment que je suis parti du bureau pour donner mes colles. Cela m’a bien occupé pendant le trajet et en plus pendant la colle 😉 Le problème peut se résumer ainsi: Dix boules sont alignées devant nous pour que nous jouions le jeu […]
Voici un bel exercice élémentaire mais pas évident. Sans indication il serait plutôt adapté pour un devoir maison. Je n’ai pas toute de suite trouvé la solution 😉 On note E la partie entière et on considère l’application qui à tout entier n strictement positif associe n+E((n+n½)½). Que peut-on dire sur l’injectivité de cette application? […]
Pour continuer la nouvelle série de questions de colles innocentes, mais avec arrière pensée, je pose aujourd’hui un exercice d’algèbre linéaire: Soit A une matrice d’ordre fini dans le groupe GL(n,C). Est-elle forcément diagonalisable?
Disons qu’un entier naturel est à chiffres incomplets, s’il ne contient pas tous les chiffres. Par exemple 1233456789 est à chiffres incomplets mais 1203456789 ne l’est pas. Que dire de la convergence de la série des inverses des nombres non-nuls à chiffres incomplets? Est-elle convergente ou divergente? Si elle converge alors quelle est sa limite? […]
Par quelle méthode montreriez-vous cet énoncé, en utilisant le programme de CPGE? Soit p>2 un nombre premier et Q=(X+1)(X+2)…(X+p-1). Alors tous les coefficients de Q, sauf les deux correspondant aux degrés le plus haut et le plus bas, sont divisibles par p. La preuve n’est pas difficile si on s’y prend bien.
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