Voici un bel exercice élémentaire mais pas évident. Sans indication il serait plutôt adapté pour un devoir maison. Je n’ai pas toute de suite trouvé la solution 😉
On note E la
partie entièreet on considère l’application qui à tout entier n strictement positif associe n+E((n+n½)½). Que peut-on dire sur l’injectivité de cette application? Et de son image?
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L’application n’est pas injective (trivial) mais elle est surjective. De façon précise, mais je dois encore le prouver, l’application est non décroissante et la valeur k est atteinte 2k fois. L’image commence donc par
1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,…
Je pense avoir une preuve, par récurrence forte sur la valeur k.
Je procède à l’induction (passer de k à k+1). On suppose donc vérifiée la table des valeurs de la fonction (je la nomme f) pour n allant de 1 à k(k+1) et on va la vérifier pour n satisfaisant
k(k+1)<n<(k+1)(k+2)
Soit un tel n. A cause de l’inégalité de gauche \(\sqrt{n}\geq k\) de sorte que
\(n+\sqrt{n}\geq (k+1)^2\)
soit f(n)>k.
A cause de l’inégalité de droite, n<k+2 de sorte que
\(n+\sqrt{n}< (k+2)^2\)
soit f(n)<k+2 et la cause est entendue.
Je ne comprends pas tes commentaires, Pierre. Elle est clairement injective car strictement croissante. Il doit avoir un malentendu. C’est pourquoi je redonne la fonction cette fois en une autre écriture : \(f(n)=n+E(\sqrt{n+\sqrt n}).\)
Cela dit, ta propriété de l’application que atteint 2k fois chaque valeur k est également intéressante. Quelle est cette application?
En fait, ce n’est pas une récurrence que j’ai utilisé. C’est une preuve directe. Désolé pour l’embrouille!
Ah ben oui! C’est grave! Ce que j’ai appelé f est l’application
\(n\mapsto E(\sqrt{n+\sqrt{n}})\)
qui n’est trivialement pas injective. J’ai perdu le "n+" en chemin alors que c’est précisément pour prouver le caractère croissant de la bonne application que j’ai fait le reste.
Cela dit, avec ce que j’ai démontré, on conclut donc que l’application (la tienne) est effectivement strictement croissante donc injective et que son image est le complémentaire de l’ensemble des carrés parfaits.
Voilà, maintenant c’est clair ! Je trouvais cela assez étonnant qu’on puisse paramétrer par une telle formule l’ensemble des nombres naturels qui ne sont pas des carrés parfaits.
Oui! J’aime bien cette fonction!
Désolé d’avoir cafouillé et rendu la lecture de cet échange assez compliquée!
On vérifie que \(f(n^2-n)<n^2\) et que \(f(n^2-n+1)\ge n^2+1\) donc les carrés ne sont pas dans l’image de f. De plus, l’ensemble \(\{f(1),\ldots,f(n^2-n)\}\) est inclus dans \(\{1,2,3,\ldots,n^2\}\setminus \{1^2,2^2,3^2,\ldots,n^2\}\) donc lui est égal pour des raisons de cardinalité.
On en conclut que l’image de f est l’ensemble des entiers qui ne sont pas des carrés.
Bonjour
c’est un cas particulier d’un exercice du concours général 1998
d.tarfaoui.free.fr/cg/199…
Bien cordialement
Merci à JLT pour son résumé, et merci à JeanN pour le lien avec la généralisation de l’énoncé !