Rationnel vs. irrationnel

Existe-t-il des nombres rationnels \(x, y\) tels que \(y^x\) est irrationnel ?
Existe-t-il des nombres irrationnels \(x, y\) tels que \(y^x\) est rationnel ?

6 réponses
  1. PB
    PB dit :

    \(2^{1/2}\) est, c’est bien connu, irrationnel.
    Pour l’autre contre-exemple (très joli) : si \(y={\sqrt 2}^{\sqrt 2}\) est rationnel c’est gagné ; sinon considérer \(y^{\sqrt 2}\), car

    \(\left({\sqrt 2}^{\sqrt 2}\right)^{\sqrt 2}={\sqrt 2}^2=2\)

    est rationnel.

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  2. Fabien Besnard
    Fabien Besnard dit :

    Ce qui est intéressant dans la preuve précédente c’est qu’elle est non constructive. C’est un exemple d’application du principe du tiers-exclu qui ne soit pas une simple contraposition.
    En fait, on peut utiliser un gros théorème (Gelfond-Schneider) pour montrer que \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) est irrationnel (et même transcendant).

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  3. Mathoman
    Mathoman dit :

    @ Fabien : oui, Gelfond-Schneider est un grand canon qui marche… Et c’est vrai que ce type de preuve par le principe du tiers-exclu est très instructif au niveau pédagogique.

    @ PB : bien sûr, j’accepte \(e^{i\pi}\) , c’est quand-même le logo du site !!

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  4. JLT
    JLT dit :

    \(2 = e^{\ln 2}\).

    On sait que e est irrationnel (voir tout livre de classe prépa).

    Si ln(2) était rationnel, il existerait des entiers a et b tels que \(2^b=e^a\) ce qui contredit la transcendance de \(e\) (théorème de Hermite).

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