Rationnel vs. irrationnel

1. 

   PB dit :

   25 avril 2009 à 13h15

   \(2^{1/2}\) est, c’est bien connu, irrationnel.
   Pour l’autre contre-exemple (très joli) : si \(y={\sqrt 2}^{\sqrt 2}\) est rationnel c’est gagné ; sinon considérer \(y^{\sqrt 2}\), car

   \(\left({\sqrt 2}^{\sqrt 2}\right)^{\sqrt 2}={\sqrt 2}^2=2\)

   est rationnel.

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2. 

   Mathoman dit :

   25 avril 2009 à 13h37

   Oui, tout à fait, j’aurais dû t’interdire de répondre si vite ;o))

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3. 

   PB dit :

   25 avril 2009 à 23h10

   Désolé 😉
   Peut-on accepter \(e^{i\pi}\) comme exemple plus explicite ?

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4. 

   Fabien Besnard dit :

   26 avril 2009 à 11h23

   Ce qui est intéressant dans la preuve précédente c’est qu’elle est non constructive. C’est un exemple d’application du principe du tiers-exclu qui ne soit pas une simple contraposition.
   En fait, on peut utiliser un gros théorème (Gelfond-Schneider) pour montrer que \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) est irrationnel (et même transcendant).

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5. 

   Mathoman dit :

   28 avril 2009 à 1h10

   @ Fabien : oui, Gelfond-Schneider est un grand canon qui marche… Et c’est vrai que ce type de preuve par le principe du tiers-exclu est très instructif au niveau pédagogique.

   @ PB : bien sûr, j’accepte \(e^{i\pi}\) , c’est quand-même le logo du site !!

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6. 

   JLT dit :

   1 septembre 2009 à 14h05

   \(2 = e^{\ln 2}\).

   On sait que e est irrationnel (voir tout livre de classe prépa).

   Si ln(2) était rationnel, il existerait des entiers a et b tels que \(2^b=e^a\) ce qui contredit la transcendance de \(e\) (théorème de Hermite).

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