Utiliser un grand canon pour un moineau

Récemment en colle d’arithmétique j’ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

\(x^3 + y^3 = z^3\,.\)

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j’attendais de l’élève n’est pas compliquée (faire une preuve par l’absurde en étudiant l’équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat… Qui peut donc m’éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d’un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n’existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

\(x^n + y^n = z^n\,\).

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C’est seulement en 1994 qu’Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd’hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l’équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l’histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

  • D’abord l’équation de Fermat est une généralisation d’une autre que tout le monde connaît, à savoir l’équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c’est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
  • L’énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
  • L’énoncé n’a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
  • Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l’ont fait pour l’honneur de l’esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu’ils ont développés ont fait avancer toute la science.
  • Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l’équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.
8 réponses
  1. PB
    PB dit :

    Le théorème de Fermat pour n=3 est quand même bien plus simple que le cas général. Sauf erreur, c’est Euler qui l’a résolu.

    Je ne sais pas bien si la preuve utilise l’exercice de colle, ce n’est pas impossible.

    Ce que je sais, c’est qu’on écrit :
    \(x^3+y^3=z^3\) sous la forme \(x^3=(z-y)(z-jy)(z-j^2y)\) et qu’on utilise le fait que l’anneau \(\mathbf Z[j]\) est factoriel…

    Répondre
  2. jean-marc schlenker
    jean-marc schlenker dit :

    Je crois que le post pose bien la question : le niveau de sophistication de la preuve de
    Wiles est tellement supérieure que ça n’a pas forcément de sens de demander si, à
    un endroit ou un autre, elle utilise des arguments de ce type…

    C’est que c’est un peu comme demander si un certain type
    de boulon est utilisé dans la nouvelle peugeot 207. Peut-être que ce boulon
    n’est pas physiquement présent dans la voiture, mais de là à vérifier qu’il n’est
    pas utilisé dans l’une des machines qui ont servi à la construire, ou dans l’une
    des machines qui ont servi à construire les machines précédentes…
    C’est clair que le calcul dans Z/pZ est utilisé dans la preuve de Wiles 😉

    Répondre
  3. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui
    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui dit :

    Bonjour,

    Voici une preuve directe du GTF n’utilisant que des outils de l’arithmétique connus de Fermat et de ceux qui l’ont précédé.

    happy-arabia.org/GTFpreuve.pdf

    Bonne lecture
    Cordialement
    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

    Répondre
  4. Faré
    Faré dit :

    Euh, un ordinateur n’est pas obligé d’utiliser la force brute pour énumérer les triplets. En fait, un ordinateur peut fort bien utiliser des outils de preuve formelle (du genre Coq) pour établir des théorèmes comme celui de Fermat-Wiles. S’il n’y avait pas de problème de ressource, un ordinateur pourrait même faire une recherche par force brute sur toutes les preuves possibles pour en trouver une qui établisse le théorème. Bien sûr, les ressources étant finies et bornées, une telle méthode ne réussira pas sans un bon guidage dans l’espace des preuves. la question est de savoir combien de guidage humain l’ordinateur requiert pour trouver la preuve. On est bien loin d’une Intelligence Artificielle qui étant donné un énoncé mathématique démontrable arbitraire trouverait sans guidage une preuve plus vite qu’un humain.

    Répondre
  5. Faré
    Faré dit :

    @Ahmed ta preuve sera prise plus au sérieux si tu la fais en Coq… sinon tout le monde s’en remettra à l’argument d’autorité "si c’était aussi simple, ça se saurait…"

    Répondre
  6. Ahmed Idrissi Bouyahyaoui
    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui dit :

    A tout lecteur et en particulier @Faré :

    Bonjour.
    Bonnes fêtes
    et bonne lecture :

    *
    L’irréductibilité de polynômes et le théorème de Fermat-Wiles.

    Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
    Pierre de Fermat

    Démonstration du Théorème de Fermat-Wiles par l’irréductibilité de polynômes.
    Résumé :
    Etant donnée l’équation de Fermat x^n+y^n-z^n=0 , où x,y,z,n sont des entiers positifs, n>2 et p premier >2, le polynôme P(X) associé à l’équation x^p+y^p-z^p=0 et le polynôme Q(X) associé à l’équation x^4+y^4-z^4=0 étant irréductibles dans Z[X] n’ont pas de racines entières et, par conséquent, la marge m=x+y-z n’est pas un entier, ce qui est contradictoire.
    Et par suite, l’égalité z^n = x^n + y^n , où x,y,z,n sont des entiers positifs et n>2, est impossible.

    Preuve :
    Soit l’équation x^n+y^n-z^n=0, où x,y,z,n sont des entiers positifs et n>2.
    En posant m = x+y-z, on peut écrire :
    x = (x+y-z)+z-y = m+u , avec u=z-y
    y = (x+y-z)+z-x = m+v , avec v=z-x
    z = (x+y-z)+(z-y)+(z-x) = m+u+v = m+w, w=u+v.
    Remarques :
    – Dans une équation m est une variable entière et dans une égalité m est un nombre entier. Dans tous les cas, u, v, w et n sont des nombres entiers.
    – Les polynômes examinés sont unitaires et, par conséquence, primitifs.

    En posant x=m+u, y=m+v et z=m+w dans x^n+y^n-z^n=0, on obtient l’équation :
    (1) (m+u)^n + (m+v)^n – (m+w)^n = 0 , avec w=u+v.

    Puisque n>2, n est multiple de 4 ou d’un nombre premier p>2, il suffit de considérer le cas n=p et le cas n=4.

    Avec n=p, l’équation (1) peut s’écrire :
    (2) ((m-2)+(u+2))^p + ((m-2)+(v+2))^p – ((m-2)+(w+2))^p = 0, avec w=u+v.
    Soit P(X) le polynôme associé à (2) :
    (3) P(X) = (X+(u+2))^p + (X+(v+2))^p – (X+(w+2))^p , avec X=m-2.
    L’application de la réduction modulo p à P(X), avec u^p+v^p-w^p = u+v-w=0 [p] et 2^p=2 [p], donne : P(X)= X^p+2 [p].
    Le polynôme X^p+2 est irréductible dans (Z/pZ) [X] (irrationalité de 2^(1/p), critère d’irréductibilité d’Eisenstein) et par suite le polynôme P(X) est irréductible dans Z[X].
    Le polynôme P(X), étant irréductible dans Z[X], n’a pas de racines entières et, par équivalence, l’équation (2) n’a pas de solutions entières pour m, ce qui est contradictoire.
    Et par suite, l’égalité x^p + y^p – z^p = 0, où x,y,z sont des entiers positifs et p premier >2, est impossible.

    Avec n=4, l’équation (1) peut s’écrire :
    (4) ((m-1)+(u+1))^4 + ((m-1)+(v+1))^4 – ((m-1)+(w+1))^4 = 0, avec w=u+v.
    Soit P(X) le polynôme associé à (4) :
    (5) P(X) = (X+(u+1))^4 + (X+(v+1))^4 – (X+(w+1))^4 , avec X=m-1.
    L’application de la réduction modulo 2 à P(X), avec w^4-u^4-v^4 = w-u-v=0 [2], donne :
    P(X) = X^4+1 [2], polynôme qui, par le changement de variable Y=X^2, devient le polynôme équivalent : Q(Y)=Y^2+1 [2].
    Le polynôme Y^2+1 est irréductible dans (Z/2Z) [X] (polynôme de degré 2 et de discriminant négatif) et par suite le polynôme P(X) est irréductible dans Z[X].
    Le polynôme P(X), étant irréductible dans Z[X], n’a pas de racines entières et, par équivalence, l’équation (4) n’a pas de solutions entières pour m, ce qui est contradictoire.
    Et par suite, l’égalité x^4 + y^4 – z^4 = 0, où x,y,z sont des entiers positifs, est impossible.

    Ainsi, l’égalité z^n = x^n + y^n , où x,y,z,n sont des entiers positifs et n>2, est impossible.

    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui
    INPI – Paris

    *

    Répondre

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