Question de probabilités concernant l’étude clinique de Pfizer BionTech

La MHRA (Medicines and Healthcare products Regulatory Agency) de la Grande Bretagne a publié un document intitulé Public Assessment Report, Authorisation for Temporary Supply, COVID-19 mRNA Vaccine BNT162b2 RNA (version mise à jour le 11 juin 2021). Il s’agit d’un rapport expliquant pourquoi le vaccin Pfizer BioNTech a été autorisé. Sur la page 30 on trouve le détail des nombres de participants :

Dans cette étude clinique on choisissait 21823 personnes auxquelles on allait injecter le vaccin et 21828 personnes auxquelles on allait injecter un placebo. Ces deux groupes sont quasiment de même taille ce qui facilite les comparaisons. Il s’agit d’un test en double aveugle, c’est-à-dire que ni la personne injectée ni le surveillant ne savent, durant la durée de l’étude, lequel des deux types d’injection avait lieu.

La dernière ligne de ce tableau donne l’information suivante : À cause de « other important protocol deviations » on a exclu 311 personnes du groupe vaccin, tandis que dans le groupe placebo ce sont seulement 61 personnes. Cela signifie que le nombre de sujets exclus pour des raisons non expliquées en détail est cinq fois plus grand dans le groupe vaccin que dans le groupe placebo.

Dans toutes les 74 pages du rapport je ne trouve aucune explication de cette disparité. Apparemment le MHRA se contente à faire des copier-coller de l’étude du fabriquant au lieu de poser des questions. Est-ce pareil en France ?
Mon devoir d’enseignant est de former des esprits qui réfléchissent à la plausibilité de résultats et qui osent poser de bonnes questions critiques. Donc voici un exercice que j’inclurai dans mon cours de probabilité de cette année.

Exercice : On fait l’hypothèse \(H_0\) l’exclusion pour « other important protocol deviations » est un événement qui a lieu au hasard, de manière indépendante de la personne et de son appartenance au groupe vaccin ou placebo. Si pour chaque personne la probabilité d’exclusion est
\[p={\text{nombre total d’exclus (other important protocol deviations)}\over\text{nombre total de participants}}\]
quelle est la probabilité que parmi les 21823 personnes du groupe vaccin au moins 311 soient exclues?

Voici la réponse: Pour commencer on calcule
\[p={311+61\over21823+21828}\approx0.0085221415.\]Si l’hypothèse \(H_0\) est valide alors on doit calculer \(\mathbb{P}(X\geqslant311)\) lorsque X suit la loi binomiale B(n,p) avec n=21823. Cette loi peut être approchée par la loi normale \(\mathcal N(\mu,\sigma^2)\) avec
\[\begin{align*}
\mu&=np\approx185.9787,\\\sigma^2&=np(1-p)\approx184.3938.
\end{align*}\]On calcule
\[\begin{align*}
\mathbb P(X\!\geqslant\!311)&=\mathbb P\left(X^*\geqslant\frac{311-185.9787}{\sqrt{184.3938}}\right)\\
&\approx\mathbb P(X^*\geqslant9.2)\approx1-\Phi(9.2),
\end{align*}\]où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Cette probabilité est quasiment nulle. Bien entendu, sa valeur exacte n’est pas nulle, mais elle est si petite qu’il est dépourvu de sens de vouloir la calculer plus précisément (elle est de l’ordre 10-17).

Voilà donc la réponse à une bonne question. Les responsables du principe de précaution en matière de médicaments ont raté une belle occasion de la poser… et demander des explications.

Colles 2020/2021

Les faux positifs

UVSQ – 2019/2020