Divisibilité avec factorielles
Voici un exercice, pas très difficile, concernant des nombres entiers formés par des factorielles. Soient k1, … , kr, m1, … , mr des entiers naturels. Montrer que la factorielle
\((k_1m_1\,+\,\cdots\,+\,k_rm_r)!\)
est divisible par
\(m_1!\:\cdots\:m_r!\;k_1!^{m_1}\:\cdots\:k_r!^{m_r}.\)
Merci à la formule de Legendre !
Intéressant! Je n’ai pas pensé à la formule de Legendre mais à un raisonnement plus élémentaire…
Ce qui m’étonne c’est la dissymétrie du diviseur par rapport aux k et au m, opposée à la symétrie du nombre qu’il divise.
Cela dit, je n’ai pas cherché de solution; je découvre le résultat de Legendre, qui est très beau.
Si on suit la remarque de Pierre Le Compte, en échangeant les rôles de \(k_i\) et \(m_i\) on déduit directement de la formule proposée que le nombre
\((k_1m_1+\dots +k_rm_r)!\)
doit être divisible par
\((k_1!)^{m_1}\dots (k_r!)^{m_r}\times (m_1!)^{k_1}\dots (m_r!)^{k_r}\)
Pourquoi crois-tu cela? Ta déduction est déjà fausse pour r=1 et k=m=2. En fait, 4!=24 n’est pas divisible par 4×4=16.
En fait, j’ai trouvé cette propriété de divisibilité par hasard en préparant des exos assez basiques. Je vous laisse encore un peu de temps avant d’en divulguer une preuve, mais pas neuf mois comme pour l’exponentielle de matrice 😉
Philippe, les deux nombres divisant séparément la "grosse" factorielle ne sont pas premiers entre eux.
… et tant qu’à faire des jeux de mots sur mon identité, autant écrire pir mon prénom. 😉
Bonjour,
Le quotient
\(\displaystyle\frac{(k_1m_1+\cdots+k_rm_r)!}{m_1!\cdots m_r!k_1!^{m_1}\cdots k_r!^{m_r}}\)
est le nombre de manières de répartir \(k_1m_1+\cdots+k_rm_r\) boules indiscernables entre \(m_1\) urnes indiscernables pouvant contenir \(k_1\) boules chacune, …, \(m_r\) urnes indiscernables pouvant contenir \(k_r\) boules chacune.
Ce quotient est donc forcément naturel.
🙂
C’est exactement cette solution simple en termes d’interprétation combinatoire que j’avais en tête. Merci!
Bravo!
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