Matrice de troc (à la Leontief)
Voici un petit exercice de calcul matriciel inspiré de mon enseignement de mathématiques aux étudiants en premier semestre d’économie. Évidemment je n’ai pas traité la deuxième question avec eux, elle est destinée pour mes lecteurs matheux.
- Considérons une économie constituée de seulement trois pays dont chacun est exportateur d’un seul produit agricole: ananas, banane et choux. Ils font un marché de troc entre eux, de sorte qu’il n’y a pas de flux d’argent : pour chaque pays la valeur du produit exporté est égale à la valeur des produits importés,. Le pays exportateur d’ananas importe 50\% des bananes et 20\% du choux; le pays exportateur de bananes importe 30\% des ananas et 40\% du choux; le pays exportateur de choux importe 50\% des ananas et 20\% des bananes. Quelles sont les valeurs respectifs a, b, c de ces trois produits ?
- Considérons une matrice A de format n×n telle que ses coefficients non diagonaux sont strictement positifs et telle que, en chaque colonne, la somme des coefficients est nulle. Quel est le rang de A ?
Je trouve la question amusante mais je n’ai guère eu de temps à y consacrer.
Je poste ceci juste pour montrer que le problème ne passe pas inaperçu!
J’ai juste pressenti une propriété qui montrerait que la matrice \(A\) est toujours de rang \(n-1\). J’ai commencé ce matin à réfléchir à sa preuve mais ne l’ai pas encore trouvée. Voici la propriété. Nous sommes dans \(\mathbf R^n\) . Pour \(1\leqslant k\leqslant n\), on note \(\mathcal C_k\) le cône formé des \(x\) vérifiant \(x\cdot e_i>0\) pour \(i\neq k\) et \(x\cdot-N>0\), où \(N=e_1+\cdots+e_n\). J’affirme que si \(u_1\in\mathcal C_1,\ldots,u_n\in\mathcal C_n\), alors \(u_1,\ldots,u_n\) sont linéairement indépendants. Comme je suis loin d’être un expert en programmation convexe, je vais sans doute travailler dur pour la prouver …
Bonjour Pierre ! Au plaisir de vous relire sur mon Blog un peu délaissé 😉
Oui, vous avez raison la matrice est de rang n-1. Votre idée de preuve me semble bonne, mais ma preuve utilise une propriété classique d’inversibilité de certaines matrices. Je ne mentionne pas le nom, je dirais seulement qu’elle souvent enseignée dans les cours de mathématiques numériques…
Le problème avec ma preuve c’est que pour l’instant, je ne sais pas prouver la proposition auxiliaire. Il me manque une idée et, géométriquement, c’est difficile d’avoir une vue de la situation. Je ne désespère cependant pas …
J’avais envisagé d’utiliser une formule du genre Frobenius-Shur, mais cela ne m’a pas trop inspiré (cela dit je n’y ai pas beaucoup réfléchi).
Merci de ne pas lâcher le morceau tout de suite 😉