L’application comatrice
Le cofacteur d’indice (j,k) d’une matrice carrée A est \((-1)^{k+j}\det(A_{kj})\) où \(A_{kj}\) désigne la matrice qu’on obtient en enlevant de A la k-ième ligne et la j-ième colonne. Autrement dit, si A est de format nxn alors \(A_{kj}\) est la matrice suivante de format (n-1)x(n-1)
\(A_{kj}=
\begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \dots & a_{1,n} \\\vdots & & \vdots & \vdots& &\vdots\\
a_{k-1,1} & \dots & a_{k-1,j-1}& a_{k-1,j+1}& \dots & a_{k-1,n} \\
a_{k+1,1} & \dots & a_{k+1,j-1}& a_{k+1,j+1}& \dots & a_{k+1,n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots &&\vdots\\
a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \dots & a_{n,n}\end{pmatrix}\;.\)
La matrice des cofacteurs de A, s’appelle la comatrice de A, notée com(A). En résumé,
\(\text{com}(A) = \left((-1)^{k+j}\det(A_{kj})\right)_{1\leq k,j\leq n}\)
Petit exercice : la fonction qui à une matrice associe sa comatrice est-elle un difféomorphisme du groupe linéaire \(GL(n,\mathbb{R})\) sur lui-même ? Et de \(GL(n,\mathbb{C})\) sur lui-même ?
Bonjour,
Sauf erreur \(A=\det\left({\rm com}(A)\right)^{\frac{1}{n-1}}\;\; {}^{t}{\rm com}(A)^{-1}\)
a un sens et est vrai si on est sur \(\mathbb R\) et si n est pair.
Donc, dans ce cas, je pense que l’application "com" est bien un "automorphisme de groupe de Lie" (?). Dans les autres cas, je dirais bien que c’est non, mais sans justifier pour l’instant 🙂
Pardon pour l’erreur de vocabulaire : je ne devais pas dire automorphisme de groupe mais simplement difféomorphisme.
Regarder les matrices diagonales…
PB a bien vu, il faut utiliser la relation entre l’inverse et la comatrice. Et en plus, la comatrice conserve la multiplication, donc il s’agit bien d’un morphisme de groupes (PB semble avoir oublié sa propre preuve). On a
\(f(A) = {\rm com}(A)= \det(A) \;{}^{t}\!A^{-1}.\)
Donc \(\det(f(A)) = \det(A)^{n-1}\). Si la fonction réciproque \(f^{-1}\) existe elle doit être de la forme
\(f^{-1}(B) = (\det(B))^{\frac1{n-1}} \;{}^{t}\!B^{-1}.\)
Toutes ces expressions sont analytiques — donc j’en tirerais les conclusions suivantes :
sur lui-même.
\(\,\)
\(\,\)
\(GL_+(n,\mathbb{R})\) sur lui-même.
Et en plus f est un revêtement trivial à deux feuillets de GL(n,R) sur
\(GL_+(n,\mathbb{R})\).
Comme le remarque très bien Pierre Lecomte ici, pour montrer que l’application co-matrice est un difféo local, il suffit de le vérifier en un point quelconque (car c’est un homomorphisme de groupes). La formule ci-dessus pour l’application réciproque a l’avantage de dire plus de choses sur la globalité de ce difféo local.