Compression et déformation d’un ballon
Aujourd’hui c’est la finale de la coupe du monde de football et donc la dernière occasion pour vous poser la question suivante :
Lorsqu’un joueur reçoit un ballon et le joue avec sa tête, le ballon se déforme, il s’aplatit avant de rebondir. Donnez un ordre de grandeur de cette déformation (en cm) !
Voici les caractéristiques du ballon selon la FIFA : il est sphérique, en cuir ou dans une autre matière adéquate, a une circonférence de 70 cm au plus et de 68 cm au moins, a un poids de 450 g au plus et de 410 g au moins au début du match et a une pression se situant entre 1,6 et 2,1 atmosphère (1600 – 2100 g/cm²).
Donnez juste une estimation pour la compression du ballon… puis pour celle de la tête du jouer 😉
Je ne sais pas du tout comment donner une expression rigoureuse, mais je vais donner une estimation très grossière. On va supposer
m = 0,5 kg = masse du ballon
v = 10 m/s = vitesse du ballon
R = 0,1 m = rayon du ballon
\(P_0 = 10^5\) pascals = pression atmosphérique
\(P = 2 P_0\) = pression du ballon.
On calcule d’abord l’énergie nécessaire pour comprimer un volume de gaz. On suppose que le gaz est contenu dans un cylindre dont la base a une aire S, et dont on fait varier la hauteur h.
La force nécessaire pour comprimer le cylindre est \(F=(P-P_0)S\), donc \(dE=-F.dh=-(P-P_0)dV\). Si \(P=2P_0\), on a donc \(dE=P_0|dV|\).
D’autre part, on suppose que l’énergie cinétique \((1/2)mv^2\) du ballon est entièrement utilisée pour comprimer le gaz dans le ballon (on néglige les déperditions d’énergie ainsi que l’élasticité du cuir du ballon), ce qui donne \((1/2)mv^2\simeq P_0|\Delta V|\).
On en déduit que la variation relative de volume vaut
\(|\Delta V|/V \simeq \frac{mv^2}{2P_0V}\simeq\frac{0,5.10^2}{2.10^5.(4/3)\pi.10^{-3}}\simeq 1/16\) (on a approximé \(\pi\) par 3).
Maintenant, la difficulté est que je ne sais pas de quelle façon le ballon se déforme. On peut s’en faire une idée en regardant une vidéo d’une balle rebondissant au ralenti.
Pour simplifier, je vais considérer que si le ballon s’écrase de \(l\) centimètres, alors la variation de volume calculée ci-dessus est égale au volume de la calotte sphérique \(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\; x^2+y^2+z^2\le R^2,\; z\ge R-l\}\).
Notons \(a=l/R\), supposé petit. On a donc
\(\pi/12=(\frac{4}{3}\pi)/16=\pi\int_{1-a}^1(1-z^2)\,dz\simeq 2\pi\int_{1-a}^1(1-z)\,dz=2\pi\int_0^a s\,ds=\pi a^2\), donc \(a\simeq 1/\sqrt{12}\).
Finalement, \(l\simeq 0,1/\sqrt{12}\simeq 0,1/(10/3)\simeq 0,03\).
J’estime que le ballon se déforme d’environ 3 cm pour une vitesse de 10 m/s. Pour une vitesse différente, le calcul précédent montre que la déformation est approximativement proportionnelle à la vitesse du ballon.
Je ne sais pas si l’estimation précédente est réaliste car je n’ai pas de vidéo au ralenti d’un ballon de foot qui rebondit.
Voici une photo de la coupe de monde 2010 illustrant que le calcul de JLT est assez réaliste ; lors d’un coup franc le ballon atteint souvent une vitesse de 30 m/s (= 108 km/h), c’est-à-dire le triple de celle supposée par JLT.