LOTUS vs DOTUP

Dans les pays anglo-saxons les enseignants les probabilités appellent LOTUS le théorème de transfert: \[\mathbb E[\varphi(X)]=\int_\mathbb R\varphi(x)f_X(x)\,\mathrm dx.~~~~~~(*)\] LOTUS signifie Law Of The Unconscious Student, car souvent l’étudiant n’est pas conscient de son utilisation quand il écrit, par exemple, \[\mathbb E[X^2]=\int_\mathbb R x^2f_X(x)\,\mathrm dx.\] En effet, par la définition de l’espérance de la variable aléatoire \(Z=X^2\), on a dans un premier temps \[\mathbb E[X^2]=\int_\mathbb R xf_{X^2}(x)\,\mathrm dx,\] puis le théorème de transfert \((*)\) assure que c’est \(\int_\mathbb R x^2f_X(x)\mathrm dx\). Certains cours utilisent \((*)\) comme définition. Il faut alors démontrer que c’est bien défini, c’est-à-dire que cette définition ne dépend pas de la représentation de la variable aléatoire \(\varphi(X)\) comme fonction d’une autre. Autrement dit, pour pouvoir utiliser \((*)\) comme définition il faut démontrer que \[\varphi(X)=\psi(Y)\implies \int_\mathbb R\varphi(x)f_X(x)\,\mathrm dx=\int_\mathbb R\psi(y)f_Y(y)\,\mathrm dy.\]Si on élude cette démonstration, la définition serait une DOTUP 😉 Qu’en pensez-vous ? Si vous enseignez les proba, comment gérez-vous ce détail ? Si vous êtes étudiant est-ce que vous avez déjà remarqué que la définition des moments d’ordre k par \[\mathbb E[X^k]=\int_\mathbb R x^kf_X(x)\,\mathrm dx\] n’est pas légitime sans théorème de transfert ?
Pour ma part, la réponse est que le public auquel j’enseigne en est complètement inconscient et que je suis déjà content si tous mes étudiants reconnaissent une loi binomiale 😐