Un exercice théorique sur les groupes

1. 

   svain dit :

   26 octobre 2011 à 13h28

   J’ai une preuve (assez rapide), mais seulement si cardinal de E est strictement plus grand que n/2.
   On montre que E est un sous-groupe de G.
   Donc cardinal de E divise cardinal de G.
   Par suite cardinal de E est égal à cardinal de G.
   D’où E = G
   Enfin, il est facile de démontrer que la restriction de f à E est une involution, d’où le résultat.

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2. 

   vince dit :

   27 octobre 2011 à 9h36

   Je ne comprends pas pourquoi svain dit que E est un ss-groupe de G.
   D’autre part, si c’est exact, f associe à tout x de G son inverse (\(f(x)=x^{-1}\)), ce qui est beaucoup plus spécifique que la simple propriété d’involution.

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3. 

   svain dit :

   27 octobre 2011 à 14h38

   Désolé, j’ai écrit une bêtise… E n’est pas un groupe. J’avais tellement écrit ceci à la hâte, que je n’ai même pas vérifié que E n’était pas stable par produit….

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4. 

   vince dit :

   27 octobre 2011 à 14h56

   Je propose la solution suivante:
   1/ Considérons \(S_E\) le sous-groupe engendré par E.
   \(Card(S_E)\geq Card(E)\geq \frac n2\) par hypothèse.
   or comme \(Card(S_E)\) divise n,
   il s’en suit que \(Card(S_E)=n \) i.e. \(S_E=G \)
   2/ Tout élément z de G peut donc s’écrire comme produit fini de d’éléments de E: \(z=x_1*x_2*…x_p \)
   Alors \(f(z)=f(x_1)*f(x_2)*…f(x_p) \)
   \(f^2(z)=f^2(x_1)*f^2(x_2)*…f^2(x_p) \)
   \(f^2(z)=x_1*x_2*…x_p \)
   \(f^2(z)=z \)
   ce qui démontre l’involutivité de f sur G

   ça parait simple comme ça, mais j’ai eu du mal à le trouver…

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5. 

   MathOMan dit :

   27 octobre 2011 à 15h14

   En effet, c’est une preuve valable dans le cas où le cardinal de E est strictement plus grand que n/2.

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6. 

   svain dit :

   27 octobre 2011 à 16h20

   Une autre idée qui me vient à l’esprit… Si on considère H= ensemble des x de G tels que f(f(x))= x… H est un sous-groupe de G cette fois!. Et E est inclus dans H. Donc on peut conclure de la même manière.
   Si H est d’indice 2 dans G, alors il est distingué dans G. Donc on peut considérer le groupe quotient G/H et ensuite, il me semble que l’on peut encore conclure….
   Bref, je n’ai pas le temps de détailler la preuve, on m’attend!

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7. 

   svain dit :

   28 octobre 2011 à 18h28

   J’ai un peu de temps, donc je termine la preuve.
   Si H (celui ci-dessus) est d’indice 2 dans G.
   1) E=H (puisqu’ils ont le même cardinal)
   2) G se partitionne en deux orbites : H et xH pour un certain x dans G\H
   Soit z de xH (donc z = xh, pour un certain h dans H), alors f(z) est dans xH car H est stable par f (on utilise ici le fait que f est un automorphisme) donc en particulier f(x) = xh’. (h’ dans H)
   Donc f(z) = f(xh) = f(x)f(h) = xh’ inv(h) (f(h) = inv(h) d’après 1))
   Donc f(f(z)) = f(xh’inv(h)) = f(x)f(h’)h = xh’inv(h’)h = xh = z
   J’imagine qu’il doit y avoir une preuve plus simple…

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8. 

   MathOMan dit :

   29 octobre 2011 à 17h41

   Cette deuxième preuve est bonne. Voici le résumé.

   Notons H le sous-ensemble de G formé par les points fixes de f². Alors on montre facilement que l’ensemble H est un sous-groupe de G (en fait c’est le plus grand sous-groupe sur lequel f est involutive), qu’il est stable par f et qu’il contient l’ensemble E de l’énoncé. En particulier, le cardinal de H est minoré par le cardinal de E, qui d’après l’hypothèse est minoré par n/2.

   Supposons que le cardinal de H est egal à n/2. Alors E=H, et H est un sous-groupe d’index 2 de G. Soit x un élément de G\H. Ainsi G est l’union disjointe des deux classes H et xH. Comme f est bijective et laisse H invariant, on sait que f laisse aussi xH invariant. En particulier il existe h dans H tel que f(x)=xh. Alors on a f²(x)=f(xh)=f(x)f(h)=(xh)h^-1=x. Cela signifie que x est dans H. Contradiction.

   Donc le cardinal de H est strictement plus grand que n/2. Puisqu’il doit diviser n, il est alors égal à n. Cela signifie que H=G et par conséquence f est une involution sur G.

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9. 

   svain dit :

   30 octobre 2011 à 2h03

   par contre, je pense que c’est un peu "hard" pour un élève de prépa, étant donné qu’on ne voit pas les actions de groupe

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10. 

    svain dit :

    30 octobre 2011 à 2h15

    D’ailleurs, l’hypothèse d’être un automorphisme est inutile si card(E)> n/2… ce qui est marrant.
    Et donc du coup, un endomorphisme qui vérifie ton assertion, est donc un automorphisme! qui est une involution. non????

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11. 

    MathOMan dit :

    30 octobre 2011 à 9h59

    Oui, ta remarque est juste (elle se voie déjà sur la preuve de vince qui traite le cas card(E)>n/2). On a donc la proposition suivante: si un endomorphisme d’un groupe fini envoie plus de la moitié des éléments sur leurs inverses alors il s’agit d’une involution.

    Je suis d’accord, posée comme ça c’est trop difficile pour une colle en prépa, mais je ne vois pas où intervient vraiment la notion d’action de groupe (il suffit de savoir que si le cardinal d’un sous-groupe est la moitié du cardinal du groupe alors il n’existe que deux classes). Si je pose cette question un jour en colle je donnerai l’indication de considérer l’ensemble des points fixes de f².

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