Inversibilité d’une matrice

Soit A la matrice carrée d’ordre 20 définie par les propriétés suivantes :

Montrer que la matrice A est inversible (sur le corps des rationnels).

2 réponses

JLT dit :
22 janvier 2010 à 21h23

Soit B=A+4I. On veut montrer que 4 n’est pas valeur propre de B. Or, B est le produit tensoriel de deux matrices C et D, où C a pour valeur propres 9 et -1, et D a pour valeurs propres 0 et 10, donc B a pour valeurs propres 0, -10 et 90.
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MathOMan dit :
31 janvier 2010 à 14h14

Oui, on peut effectivement passer par le produit tensoriel ou le produit de Kronecker de deux matrices. J’avais plutôt pensé à une solution du style de mon commentaire du 31 janvier à l’exercice avec les vaches. C’est une application typiqe de passage au quotient, ça montre bien l’utilité d’un espace quotient : On considère la matrice A dans Z modulo 3 et on remarque qu’alors ses colonnes forment un système orthogonal, et le tour est joué.
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