Math 'O Man : le Blog des Maths

Un exercice vraiment vache



Par MathOMan, jeudi 7 janvier 2010 à 10:57 - Exo, enigme, casse-tête - Tags - RSS

Vous avez un troupeau de 101 vaches vérifiant l'hypothèse suivante : chaque fois que vous prenez 100 vaches parmi elles il est possible de les séparer en deux parties de 50 vaches telle que les deux parties ont le même poids.
Démontrez que toutes les 101 vaches ont le même poids.

D'ailleurs, pour ceux qui se sont posés la question : le poids d'une vache (Bos primigenius taurus) se situe entre 500 et 800 kg, et celui d'un taureau peut atteindre 1200 kg. Evidemment cela n'a pas d'importance pour l'exercice.

Et comme je n'aime pas les billet trop courts, voici un autre exercice (indépendant du premier). Retrouvez les neuf mathématiciens célèbres cachés dans la phrase suivante :

Quand t’auras fini de classer des cartes et de les ranger, coche ici et ferme à clef la grange : la dernière fois t’as laissé tout ouvert, et les chats l’ont saccagée et ont volé des poissons.


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Commentaires


1. Le vendredi 8 janvier 2010 à 09:42, par MP

Cantor Descartes Euler Cauchy Fermat Lagrange Thalès Chasles Poisson.

Pour les vaches, je sèche pour l'instant... J'ai une matrice plein de +1 et -1 avec une valeur propre (0) mais je n'arrive pas à avancer...


2. Le vendredi 8 janvier 2010 à 14:20, par MP

Je crois que ça y est... (mais c'est des vieux souvenirs de maths pas touchées depuis 10 ans...)

n=101 (mais en fait pour tout impair ça marche)

On note C la matrice de Mn(R) telle que :
c_ij = +/- 1 si i est différent de j
c_ii = 0
somme(c_ij)(j=1_n) = 0 pour tout i
Cette matrice représente une façon de partager en deux lots égaux les vaches sauf la vache i (d'où le 0 sur la diagonale)

On veut montrer que le noyau de C est de dimension 1
V = (1....1) est un vecteur non nul de R^n tel que C*V = 0 et donc dim(Ker(C)) >= 1

On considère pour i dans 2...n le vecteur colonne Ui = (0 ... 0 c_1i 0 ... 0) où c_1i (non nul) est mis en position i

On a Vi = C*Ui = (1 +/-1 ... +/-1 0 +/-1 ... +/-1) avec le 1 en position 1 et le zero en position i

pour tout (l,k) dans [2,n]^2 Vl et Vk sont indépendants donc dim(Im(C)) >= n-1

comme dim(Im(C))+dim(Ker(C)) = n, on a dim(Ker(C)) = 1 et donc le seul vecteur propre de la valeur propre 0 est bien (1...1)


3. Le vendredi 8 janvier 2010 à 14:22, par MathOMan

Je ne comprends pas la conclusion dim(Im(C)) >= n-1. Vous avez dans l'image des couples de vecteurs non-colinéaires — comment en déduire votre minoration ? A mon avis on peut seulement en déduire dim(Im(C)) >= 2.


4. Le vendredi 8 janvier 2010 à 15:01, par MP

ah oui... zut... ça suffit pas qu'ils soient indépendants 2 à 2 pour qu'ils soient une famille libre...


5. Le vendredi 8 janvier 2010 à 19:43, par MP

on dirait que le déterminant d'une matrice carée de dimension paire de diagonale nulle et avec que des +/- 1 est un entier impair mais j'arrive pas à le montrer... je suis sur la piste ?


6. Le vendredi 8 janvier 2010 à 22:07, par JLT

Supposons par l'absurde que C soit de rang < n-1. Comme C est une matrice à coefficients rationnels, il existe un vecteur X à coefficients rationnels, non proportionnel à V, tel que CX=0. Quitte à retrancher un multiple de V, on peut supposer que la somme des coefficients de X est nulle. De plus, après multiplication de X par une constante, on peut supposer que les coefficients de X sont des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. Soit i tel que x_i soit impair. Il existe une partition S\amalg T de \{1,\ldots,n\}\backslash \{i\} telle que x_S=x_T, où x_S = \sum_{j\in S}x_j. Comme x_i + x_S + x_T = 0, on en déduit que x_i = -2x_S, ce qui contredit le fait que x_i est impair.


7. Le vendredi 8 janvier 2010 à 23:45, par MP

je ne comprends pas l'existence de la partition telle que X_S = X_T ...


8. Le samedi 9 janvier 2010 à 09:52, par JLT

S est l'ensemble des j tels que c_{ij}=1 et T est l'ensemble des j tels que c_{ij}=-1. Comme le i-ème coefficient de la colonne CX vaut x_S-x_T, et que CX=0, on a bien x_S=x_T.


9. Le samedi 9 janvier 2010 à 10:13, par MP

ah oui, comme ça c'est clair...
de mon côté, j'ai montré (par récurrence) que la matrice avec des 1 partout sauf des 0 sur la diagonale à pour déterminant (-1)^(n-1)*(n-1) qui est bien impair pour n pair... mais je n'arrive pas pour des 1 et des -1...


10. Le samedi 9 janvier 2010 à 11:50, par JLT

MP : il suffit de reduire modulo 2.


11. Le samedi 9 janvier 2010 à 14:21, par MathOMan

Désolé de vous rejoindre si tard (je rentre de 4h de TD). Voilà tout est dit, le problème est résolu.

Ma propre solution était légèrement différente.
Je montre d'abord le résultat pour des poids entiers : on prouve sans peine que la différence de deux poids est toujours pair, donc ils sont tous pairs ou tous impairs. Quitte à ajouter 1 partout, on peut supposer qu'ils sont tous pairs. On peut donc diviser par 2 et on obtient un nouveau troupeau avec la même propriété mais la différence de poids entre la vache la plus légère et la plus lourde est aussi divisée par deux — et comme on peut continuer ainsi sans sortir des nombres entiers, cette différence était nulle dès le départ et tous les poids sont identiques.
Puis, par factorisation, on déduit le résultat pour les poids rationnels. Enfin, un simple raisonnement sur le rang montre que ça tient aussi pour des poids réels (et même complexes...).


12. Le dimanche 31 janvier 2010 à 13:51, par MathOMan

Le 8 janvier 2010 MP disait : on dirait que le déterminant d'une matrice carée de dimension paire de diagonale nulle et avec que des +/- 1 est un entier impair mais j'arrive pas à le montrer...

Voici une idée très simple.

Lemme. Soit B\in {\scr M}_{2n}(\mathbb{Z}) une matrice de coefficients diagonaux pairs et telle que ses autres coefficients sont impairs. Alors B\in GL(2n,\mathbb{Q}).

Preuve. Pour tout entier k notons [k] sa classe dans \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Par passage au quotient B induit une matrice [B] à coefficients dans \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. La diagonale de [B] est nulle et tous les autres coefficients sont [1]. On vérifie sans peine que [B] est une matrice orthogonale. Donc det([B])=[1]. Or le déterminant d'une matrice est un polynôme en les coefficients de la matrice et les coefficients de ce polynôme sont des entiers, donc le déterminant passe au quotient, c'est-à-dire det([B])=[det(B)]. Par conséquence det(B) et non-nul, donc B possède une inverse (à coefficients rationnels).


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Se repérer dans le désert

Par Mathoman, mardi 18 novembre 2008 à 00:32 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers.

Exo de géométrie : Construire les autres poteaux

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

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Un exercice bizarre à propos de la température sur terre

Par Mathoman, vendredi 23 octobre 2009 à 12:39 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son génie à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

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Matrices intercalées

Par Mathoman, dimanche 6 juin 2010 à 17:42 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Deux exos sympas sur les matrices.

Exercice 1. Soient M_k, k=1,...,n des matrices carrées complexes de même taille, toutes non-nulles. Existe-t-il toujours une matrice carrée A telle que

AM_1AM_2A\:\cdots\: AM_nA\neq0\;\;?

Exercice 2. On note T la transposition des matrices. Soient A,B,C,D, des matrices carrées telles que T(A)=BCD, T(B)=CDA, T(C)=DAB et T(D)=ABC. Démontrer que

(ABCD)^3=ABCD.

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Humour et poésie

Par Mathoman, samedi 19 septembre 2009 à 14:39 - Humour - Tags

— Chéri, est-ce que tu m'aimes ?
— Hmm ? Ah oui, bien sûr que je t'aime.
— Mais est-ce que tu m'aimes vraiment ?
— Oui, oui.
— Mais est-ce que tu m'aimes plus que tes satanées mathématiques ?!
— Bien entendu, ma chérie.
— Et bien, alors prouve le moi !
— Hum. Alors... Soit epsilon > 0, ...

Pourquoi les sièges de Louis XVI sont-ils très étroits ?
(Indication : 13 et 3, ça fait combien ?)

Et dans le même genre, mais pas pour enfants :

Poème avec humour
Photo envoyée par JY

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Cours gratuits en vidéo

Par Mathoman, dimanche 29 mars 2009 à 12:05 - Apprendre les maths - Tags

De plus en plus de sites proposent des cours en vidéo. Comme le cours suivant sur les fonctions continues, destiné aux élèves de terminale S ou ES :

Netprof.fr propose également le fichier pdf de ce cours. On peut être d'un avis partagé sur la qualité de ces cours (par exemple, dans la vidéo ci-dessus on ne distingue pas vraiment entre ce qui est définition et ce qui est proposition ou entre ce qui est démontré et ce qui est admis — le prof demande à l'élève d'apprendre par cœur que les fonctions polynômiaux sont continues, puis dans le premier exercice qui suit il en traite un cas particulier sans utiliser ce fait...), mais en tout cas c'est une très belle initiative. L'internaute pourra passer des journées entières à s'instruire sur le web.

A un niveau bien plus élévé, le site Videolectures propose des colloques filmés dans des centres de recherche et des universités, comme cet exposé de Gregory Chaitin intitulé

Un siècle de controverses sur les fondations des mathématiques

Il propose également les notes de son exposé...

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Exercice sur un pavage de rectangles

Par Mathoman, vendredi 21 novembre 2008 à 16:02 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Pas si évident que ça!

Appelons un rectangle entier si sa largeur ou sa longueur est un entier.
Soit R un rectangle constitué d'autres rectangles (leur union est R et ils se touchent seulement sur leurs bords).

Questions:
  1. Démontrer que si chacun de ces rectangles est entier, alors le rectangle R l'est aussi.
  2. La réciproque est-elle vraie?
  3. Cet énoncé en dimension deux peut-on le généraliser à des dimensions plus grandes, par exemple aux cubes?
Réponses:   Cliquez ici pour la solution. Voir aussi les discussions ici et là.

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Colles MPSI 2009/2010

Par Mathoman, lundi 14 septembre 2009 à 12:39 - MPSI - Tags

Pour mes élèves en colles de mathématiques en classe préparatoire MPSI du Lycée Fénelon Sainte-Marie ; ci-dessous les questions avec corrigés. N'oubliez pas : faire un maximum d'exercices à la maison (sans regarder la solution) est la meilleure méthode pour préparer un concours !

Khôlles prépa math sup avec corrigés :

  1. Logique. Exponentielle et logarithme
  2. Plan complexe. Fonctions trigonométriques, hyperboliques et réciproques
  3. Equations différentielles linéaires
  4. Géométrie dans le plan et l'espace
  5. Courbes planes. Fichier perdu
  6. Coniques
  7. Applications. Théorie des ensembles
  8. Relations, applications, ensembles
  9. Ensembles. Dénombrements
  10. Groupes
  11. Groupes, anneaux, corps
  12. Arithmétique
  13. Suites
  14. Suites réels et complexes
  15. Espaces vectoriels
  16. Polynômes
  17. Fractions rationnelles
  18. Révisions
  19. Fonctions continues
  20. Espaces vectoriels
  21. Fonctions dérivables
  22. Etudes de fonctions
  23. Matrices
  24. Intégration
  25. Déterminant

Déroulement des colles et conseils pour les élèves en math sup :

  • Il est indispensable d’avoir appris son cours de maths (théorèmes et preuves, exemples).
  • Expliquez clairement l’idée de la preuve. Souvent il y a un point pivot dans une démonstration.
  • Lire mes conseils de rédaction.
  • Si je vous pose une question, ne répondez pas toute de suite au hasard, mais réfléchissez d’abord ! Dans un examen oral personne ne vous demande de donner une réponse immédiatement. En revanche, on exige une réponse qui peut-être fausse mais qui est fondée. Et si vous n’en avez pas, avouez-le — le pire c’est de laisser à un jury de concours l’impression que vous bluffez ou que vous jouez au loto…
  • Quelques exercices sont en anglais ou en allemand. Cette idée d’initiation à l’expression scientifique en une langue étrangère m’est venue lorsqu’une fois un excellent élève en math sup souhaitait apprendre des choses sur les formes différentielles et le théorème de Stokes. Alors je lui ai prêté mon exemplaire de l’excellent livre Mathematical Methods of Classical Mechanics de Vladimir I. Arnol’d. Or il me l’a rendu le lendemain car “lire les maths en anglais serait trop fatiguant”! Or rien n’est plus simple à lire dans une langue étrangère que les maths — il faut seulement s’entrainer un peu… et c’est le but de ces questions. Vous pouvez néanmoins rédiger vos solutions en français.

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Le problème avec la ligne téléphonique occupée

Par Mathoman, samedi 13 juin 2009 à 09:04 - Maths pour tous - Tags

Souvent lorsqu'on veut joindre un bureau administratif par téléphone, c'est occupé. On se dit alors : avant d'essayer à nouveau vaut mieux que j'attende quelques minutes pour que la ligne téléphonique se libère.

Mais est-ce vraiment une bonne stratégie ? Pourquoi attendre quelques minutes et ne pas rappeler toute de suite ou après quelques secondes seulement ? La probabilité que le téléphone sonne occupé dans le futur, ne devrait-elle pas être indépendante de l'état actuel de la ligne ? (En effet, rien ne permet de savoir si l'appel qui occupe la ligne est à son début ou à sa fin.)

Qu'en pensez-vous ?

On suppose ici (de manière très optimiste, je l'avoue) que le personnel du bureau décroche le téléphone à chaque fois qu'il sonne. En plus, on suppose que je n'ai pas d'influence sur les autres personnes susceptibles d'appeler et qu'il s'agit d'une ligne de téléphone à l'ancienne, c'est-à-dire sans boîte vocale active ou possibilité de recevoir de double appels.

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Trouver la fausse boule d'or

Par Mathoman, mardi 7 octobre 2008 à 13:19 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Vous avez douze boules d'or qui se ressemblent. Elles ont exactement le même poids à l'exception d'une qui est une imitation, et vous ne savez pas si elle est plus lourde ou plus légère que les vraies boules d'or.

Vous disposez d'une simple balance à plateaux. Est-il possible d'isoler avec trois pesées la fausse boule et de déterminer en même temps sa nature (plus lourde ou plus légère)?

Trouver limitation parmi les boules dor

Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

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Casse-tête avec la moquette

Par Mathoman, mercredi 1 octobre 2008 à 01:14 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Vous achetez une moquette pour couvrir le sol d'une pièce qui fait 9m x 12m. Le vendeur vous donne deux morceaux, 10m x 10m et 1m x 8m.
Vous protestez: "La superficie totale est bien celle de ma chambre mais ce ne sont pas les bonnes tailles!"
Le vendeur: "Je vous rassure, il suffit de couper le grand morceau en deux, ensuite vos trois morceaux rentreront parfaitement.''
Mais arrivé à la maison vous avez du mal à suivre le conseil du vendeur — et pourtant c'est possible! Quelle coupe faut-il faire?



Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

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