Fonctions qui commutent
Avant d’avoir posté le dernier billet j’aurai dû me poser la question suivante.
Quelles sont les germes f et g de fonctions holomorphes en 0 telles que f(0)=g(0)=0 et qui commutent, c’est-à-dire telles que fog=gof ?
Clairement si f et g sont linéaires elles commutent. Une autre condition suffisante est l’existence d’un germe h tel que f et g soient des composées de h, c’est-à-dire f=hk et g=hn où la puissance dénote la composition (pas la multiplication).
Je n’ai pas de réponse à la question. Probablement c’est quelque chose de connue aux spécialistes.
Je ne connais pas la réponse, mais on a beaucoup d’exemples avec les polynômes de Tchebycheff : soit \(P_n(2\cos\theta)=2\cos n\theta\),
alors les fonctions \(f_n(z)=P_n(z+2)-2\) sont holomorphes, s’annulent en 0, et commutent deux à deux.
Merci à JLT pour cet exemple. D’ailleurs il y a aussi \(z^p\) et \(z^q\) qui commutent.
Pas facile finalement cette question ! La première chose qui est sûre c’est que si f et g commutent alors \(f\circ\dots\circ f\) (p fois) et\(g\circ\dots\circ g\) (q fois) commutent pour tous p,q entiers naturels (et aussi relatifs si f et g sont bijectives). Si on applique ce résultat à f=g=h on trouve que \(f=h\circ\dots\circ h\) (p fois) et\(g={h\circ\dots\circ h}\) (q fois) commutent. Comme f et g sont supposées holomorphes j’aurai bien essayé de démarrer en dérivant :
\((f\circ g)’= f’\circ g\times g’=(g\circ f)’=g’\circ f\times f’\)
ça donne une égalité entre fonctions méromorphes :
\( {f’\circ g\over g’\circ f}={f’\over g’}\)
en bouclant j’aurais espéré trouver une fonction h telle que : \(f=h\circ\dots\circ h\) (p fois) et\(g={h\circ\dots\circ h}\) (q fois) mais je n’ai pas abouti et ce n’est peut être même pas vrai en général!
Bien sûr, ce n’est pas vrai en général. La fonction identité commute avec tout le monde. Les exemples des monômes avec coefficient 1 de mon commentaire précédent commutent, mais ne sont pas des composées d’une même fonction (mais si on veut en plus qu’ils des fonctions localement inversibles ces exemples ne marchent plus). Les exemples construits par JLT aussi.
D’ailleurs la question est difficile même pour des polynômes…