Série classique convergente
Pour savoir pour quel \(\alpha>0\) la série \(\sum_{k=1}^\infty\,\frac1{k^\alpha}\) est convergente, on fait une comparaison avec une intégrale, c’est-à-dire on démontre (par exemple par un dessin) l’encadrement suivant, valable pour tout entier n > 1,
\(\int_2^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\;<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\int_1^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\:.\)
Par intégration il en résulte que
\(
\begin{align*}
\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-\frac1{2^{\alpha-1}}\right)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-1\right)\qquad\text{ pour }\alpha\neq1\:,\\&\\&\\
\ln (n) - \ln (2)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k}\;<\;\ln (n) - \ln (1)\:.
\end{align*}\)
En faisant tendre n vers l’infini on conclût que la série converge si \(\alpha>1\) et diverge vers l’infini si \(\alpha\leq1\,.\)
Question de colle :
Soit \(\sum_{k=1}^\infty\,u_k\) une série convergente. Est-il vrai que \(\sum_{k=1}^\infty\,u_k^3\) est également convergente ?
Réponse: Oui! La série des cubes est également convergente.
Preuve:
Soit S(n) la somme partielle de la série de terme général u(k) de k=1 à k=n
Et soit T(n) la somme correspondant au même terme élevé au cube.
Notons également S la somme de la première série qui est supposée convergente, donc S est un réel et les les u(k) sont bornés.
Dans cette étude, je suppose que S est non nulle. Alors modulo un changement de signe, S peut être supposée strictement positive. Donc tous les termes u(k) sont positifs à partir d’un certain rang. Par suite, on peut supposer que TOUS les u(k) sont positifs.
Partons de u(k)=S(k)-S(k-1)
En élevant au cube, on obtient:
u(k)^3=S(k)^3-S(k-1)^3-3S(k).S(k-1).(S(k)-S(k-1)) et donc:
T(n)=S(n)^3-3.sigma(S(k).S(k-1).u(k)) (sigma de k=2 à k=n)
Or, cette dernière sigma est une série à termes positifs et majorée par S^3 donc convergente.
La suite de terme général S(n)^3 est trivialement convergente.
D’où la suite de terme général T(n) est convergente. CQFD.
Reste le cas où S=0…
Je vous soumis donc ma copie!
Tout en m’excusant de n’avoir pas pu la rédiger en utilisant un éditeur d’équation! Mais, je pense que la lecture est aisée pour un large public qui s’intéresse aux Maths…
La réponse à l’exercice est : non en général.
Je reconnais qu’il y a eu confusion entre S(n) et u(k)!!
Les u(k) ne peuvent être tous positifs à partir d’un certain rang!!!!
Bon, alors avant que JLT ne sorte son contre-exemple de la mort, je vais faire l’élève de colle qui sèche et qui dit toutes les évidences possibles pour montrer qu’il sait son cours : déjà c’est vrai si elle est absolument convergente, c’est vrai aussi si elle vérifie le critère des séries alternées. Si elle change de signe de façon régulière (tous les k termes, ou alors avec un terme positif suivi de k termes négatifs), on peut se ramener aux séries alternées en regroupant des termes, donc ça marche encore. Du coup il faudrait chercher un contre-exemple avec un truc qui change de signe de façon "erratique" comme cos(n), ou alors un truc qui a 1 terme positif suivi de 2 termes négatifs suivi de 3 positifs, etc.
Ceci dit, en tant que taupin, j’aurais probablement cherché à montrer que c’était vrai en général…
Oups, je me rends compte que j’ai dit une bêtise avec mes séries qui ont un terme positif suivi de k termes négatifs. Il y a peut-être un truc à chercher de ce côté là…
Ah bah tiens, je crois que j’ai trouvé un contre-exemple en réfléchissant à ma propre bêtise :
On prend la série de terme général e(n)n^(1/3) où e(n) vaut 1 ssi n est un multiple de 3 et -1/2 sinon. Cette série converge, et pas la série des cubes.
J’ai commis deux coquilles dans le contre-exemple précédent : d’abord c’est n^(-1/3) bien sûr, et d’autre part, j’ai mal écrit mon terme général, donc le revoici plus clairement :
La série est la somme des termes u_n avec u_{3k}=(3k)^{-1/3}, u_{3k+1}=(-1/2)(3k)^{-1/3}, u_{3k+2}=(-1/2)(3k)^{-1/3}.
Mon contre-exemple correspondait au deuxième contre-exemple de Fabien Besnard, mais le premier marchait aussi. En effet, si \(u_n=\frac{\cos(2n\pi/3)}{n^{1/3}}\), alors la série \(\sum u_n\) converge d’après la règle d’Abel. D’autre part, en utilisant \(\cos^3 x=\frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{4}\cos x\), on trouve que \(u_n^3=\frac{1}{4n}+\frac{3}{4}u_n\) est le terme général d’une série divergente (puisque somme d’une série divergente et d’une série convergente).
Même les coquilles n’arrêtent pas JLT ! ça c’est fort !