Série classique convergente

Pour savoir pour quel \(\alpha>0\) la série \(\sum_{k=1}^\infty\,\frac1{k^\alpha}\) est convergente, on fait une comparaison avec une intégrale, c’est-à-dire on démontre (par exemple par un dessin) l’encadrement suivant, valable pour tout entier n > 1,

\(\int_2^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\;<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\int_1^n\frac{{\rm d}x}{x^\alpha}\:.\)

Par intégration il en résulte que

\(
\begin{align*}
\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-\frac1{2^{\alpha-1}}\right)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k^\alpha}\;<\;\frac1{1-\alpha}\left(\frac1{n^{\alpha-1}}-1\right)\qquad\text{ pour }\alpha\neq1\:,\\&\\&\\ \ln (n) - \ln (2)\;&<\;\sum_{k=2}^n\,\frac1{k}\;<\;\ln (n) - \ln (1)\:. \end{align*}\)

En faisant tendre n vers l’infini on conclût que la série converge si \(\alpha>1\) et diverge vers l’infini si \(\alpha\leq1\,.\)

Question de colle :

Soit \(\sum_{k=1}^\infty\,u_k\) une série convergente. Est-il vrai que \(\sum_{k=1}^\infty\,u_k^3\) est également convergente ?

7 réponses
  1. Fabien Besnard
    Fabien Besnard dit :

    Bon, alors avant que JLT ne sorte son contre-exemple de la mort, je vais faire l’élève de colle qui sèche et qui dit toutes les évidences possibles pour montrer qu’il sait son cours : déjà c’est vrai si elle est absolument convergente, c’est vrai aussi si elle vérifie le critère des séries alternées. Si elle change de signe de façon régulière (tous les k termes, ou alors avec un terme positif suivi de k termes négatifs), on peut se ramener aux séries alternées en regroupant des termes, donc ça marche encore. Du coup il faudrait chercher un contre-exemple avec un truc qui change de signe de façon "erratique" comme cos(n), ou alors un truc qui a 1 terme positif suivi de 2 termes négatifs suivi de 3 positifs, etc.

    Ceci dit, en tant que taupin, j’aurais probablement cherché à montrer que c’était vrai en général…

    Répondre
  2. Fabien Besnard
    Fabien Besnard dit :

    Oups, je me rends compte que j’ai dit une bêtise avec mes séries qui ont un terme positif suivi de k termes négatifs. Il y a peut-être un truc à chercher de ce côté là…

    Répondre
  3. Fabien Besnard
    Fabien Besnard dit :

    Ah bah tiens, je crois que j’ai trouvé un contre-exemple en réfléchissant à ma propre bêtise :

    On prend la série de terme général e(n)n^(1/3) où e(n) vaut 1 ssi n est un multiple de 3 et -1/2 sinon. Cette série converge, et pas la série des cubes.

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  4. Fabien Besnard
    Fabien Besnard dit :

    J’ai commis deux coquilles dans le contre-exemple précédent : d’abord c’est n^(-1/3) bien sûr, et d’autre part, j’ai mal écrit mon terme général, donc le revoici plus clairement :

    La série est la somme des termes u_n avec u_{3k}=(3k)^{-1/3}, u_{3k+1}=(-1/2)(3k)^{-1/3}, u_{3k+2}=(-1/2)(3k)^{-1/3}.

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  5. JLT
    JLT dit :

    Mon contre-exemple correspondait au deuxième contre-exemple de Fabien Besnard, mais le premier marchait aussi. En effet, si \(u_n=\frac{\cos(2n\pi/3)}{n^{1/3}}\), alors la série \(\sum u_n\) converge d’après la règle d’Abel. D’autre part, en utilisant \(\cos^3 x=\frac{1}{4}\cos(3x)+\frac{3}{4}\cos x\), on trouve que \(u_n^3=\frac{1}{4n}+\frac{3}{4}u_n\) est le terme général d’une série divergente (puisque somme d’une série divergente et d’une série convergente).

    Répondre

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