La chèvre sur le champs circulaire
Dernièrement mon collègue bloggeur Tanguy donne souvent la parole à ses lecteurs. Aujourd’hui je fais pareil avec un email que je viens de recevoir d’un lecteur par ma page de contact. En fait il pose une belle question de géométrie:
Je viens de lire avec beaucoup de plaisir l’intégralité de ce blog.* Tout à fait d’accord avec Rungaldier.
Pour ma part je suis plus physique chimie et j’ai une colle math/géométrie que je n’ai jamais su résoudre. Pouvez vous me donner la solution?Un champs circulaire de 10m de diamètre. Un paysan plante un piquet sur la périphérie. Il y attache une chèvre. Quelle doit être la longueur de corde pour que la chèvre ne puisse brouter que la moitié du champs; la longueur du col à la bouche n’est pas prise en compte.
* Wow, moi-même je n’aurais pas ce courage !
En fait il s’agit de trouver l’aire de l’intersection de 2 cercles. J’ai trouvé une solution en traçant la corde définie par l’intersection des 2 cercles et en calculant l’aire au dessus et en dessous, en trouvant au préalable la formule qui donne l’aire définie par la corde d’un cercle en fonction de la position de ladite corde sur le rayon perpendiculaire à celle-ci, mais c’est horriblement compliqué et il doit probablement y avoir (beaucoup) plus simple…
On peut supposer pour simplifier que le champ est centré en (0,0), de rayon 1, que la corde est plantée en (1,0) de rayon r.
On veut donc évaluer l’aire de l’intersection des deux disques. Pour cela on a besoin de connaître l’abscisse des points d’intersections des deux cercles. On a \(x^2+y^2=1\) et \((x-1)^2+y^2=r^2\) d’où \(x=1-r^2/2\).
Ensuite on a
\(\displaystyle A=2\int_{1-r}^{1-r^2/2}\sqrt{r^2-(1-x)^2}dx+2\int_{1-r^2/2}^1\sqrt{1-x^2}dx\)
ce qui conduit (d’après un logiciel de calcul formel mais on pourrait faire les calculs à la main via des changement de variables du style \(u = \sin(x)\)) à
\(A =-1/2+ r \sqrt{4-r^2}+r^2 \cos^{-1}(r/2)+\cos^{-1}(1-r^2/2).\)
Il faut donc résoudre \(A = \pi/2\), de manière numérique on trouve 1.19 à peu près, je ne pense pas que l’on puise résoudre cette équation de manière analytique, mais je peux me tromper…
Vu le type d’équation transcendante où l’inconnue apparait à la fois devant et derrière des fonctions trigonométriques il est clair qu’on ne peut pas la résoudre autrement que par des méthodes numériques.
La solution de Valvino est certainement la plus courte, mais pour m’amuser je viens de résoudre le problème par trigonométrie élémentaire sans utiliser d’intégrales. Je trouve les résultats suivants, mais bizarrement je n’obtiens pas la même valeur approchée que Valvino…
\(\mathcal A=r^2\arcsin\left(\frac\ell r\right)-\ell\sqrt{r^2-\ell^2}.\)
On vérifie facilement cette formule en calculant l’aire du secteur circulaire moins un triangle. Nous allons utiliser cette formule dans le point ci-après.
\(\begin{cases} \delta^2 + \ell^2 = r^2\\(r-\delta)^2 + \ell^2 = R^2
\end{cases}\)
qui permet d’obtenir
\(\ell=R\sqrt{1-\left(\frac R{2r}\right)^2}.\)
Donc l’aire de l’intersection des deux disques est
\(R^2\arcsin\left(\sqrt{1-\left(\frac R{2r}\right)^2}\,\right)+2r^2\arcsin\left(\frac R{2r}\right)-R\sqrt{r^2-\left(\frac R2\right)^2}.\)
Pour que ce nombre vaut \(\pi r^2/2\) l’ordinateur donne comme valeur approchée 1.159r. Pour r=10 la longueur de la corde doit être environ 11.59 mètres.
C’est Valvino qui a dû faire une faute de frappe dans son logiciel de calcul formel. J’ai tapé sur scilab
function [y]=f(x);
y=-%pi/2+2*integrate(‘sqrt(x^2-(1-t)^2)’,’t’,1-x,1-x^2/2)+2*integrate(‘sqrt(1-t^2)’,’t’,1-x^2/2,1);
endfunction
fsolve(1,f)
La réponse est
1.158728473018
P.S. Il y une petite faute de frappe dans la formule de Valvino, c’est
\(A =-\frac{1}{2} r \sqrt{4-r^2}+r^2 \cos^{-1}(r/2)+\cos^{-1}(1-r^2/2).\)
Numériquement :
–>deff(‘[y]=f(x)’,’y=-%pi/2-.5*x*sqrt(4-x^2)+x^2*acos(x/2)+acos(1-x^2/2)’);
–>fsolve(1,f)
ans =
1.158728473018
Ce problème amusant, qui revient fréquemment sur les forums de maths., mérite d’être généralisé, pour encore plus d’amusement !
L’article "Le problème de l’hyperchèvre", par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin...
Pb de la Chèvre 2D. J’ai lu avec grand intéret tout ce qui précède. Mon Pb est un peu différent: mon Père, grand amateur de démonstrations géométriques et d’énigmes mathématiques, m’avait posé ce problème, alors que j’étais tout jeune lycéen. Il m’avait demandé de le résoudre avec la règle et le compas: je dois avouer que je n’y suis jamais arrivé !… Il m’arrive encore de me pencher sur la question, mon Père, disparu maintenant, n’ayant jamais voulu me donner la solution: "c’est pourtant simple! Tu n’as pas assez cherché !" me disait-il. Existe-t-il une solution ? J’aimerais ne pas mourir idiot !… Merci.
pouvons nous imaginer que le champ, parfaitement circulaire,est situé sur une colline. Cette colline , par un hasard extraordinaire, est tout à fait demi sphérique. La corde aura alors la longueur d’un quart du perimètre du champ.Rien dans l’énoncé ne précise que le champ est plat.
Pour Don Fi: ton père avait absolument raison, il existe une construction "règle et compas" très simple pour séparer le champ en deux surfaces égales et qui donne facilement la longueur de la corde.
Tatick, on veux bien une explication 😉
Bonjour tout le monde !
Il y a soixante ans que ce problème me poursuit, et un peu moins où c’est moi qui poursuis les prétentieux qui, au simple énoncé du problème, affirment péremptoirement que c’est enfantin, et que ça se résout en deux coups les gros.
Sauf que, depuis plusieurs décennies, je n’ai rencontré qu’un seul professeur de maths qui m’a fourni une solution, tous les autres, (ils sont légion), me tournent le dos dès que je remets la « chèvre » sur le tapis.
Je vous propose ma solution (en pdf), assez bestiale, je l’avoue, (il y même un dinosaure et des CRS là-dedans, mais pas de victime, sauf la chèvre).
J’ose le faire, non seulement pour la beauté du geste, (mon développement mathématique n’a rien de particulier), mais parce que je trouve ça rigolo, et que, dans le fond, j’aime bien Julien Clerc, qui n’est pas rancunier, je l’espère.
Merci de votre attention.
Merci pour cette solution. Elle arrive au même résultat que la courte solution que j’ai postée dans le commentaire du mercredi 29 février 2012 et elle contient une pléiade de « fioritures »… 😉
Cordial salut à MathOman.
Merci de m’avoir consacré quelques moments lors de cette fête Mariale.
Si se fût une corvée, j’en serais fort marris.
Comme annoncé, MA solution n’a rien d’originale, elle correspond bien à votre développement du 29 février 2012, (une année bissextile), ainsi qu’à bien d’autres trouvées au hasard de butinage sur le net.
Sa seule particularité, comme vous le soulignez à bon escient, réside dans mes « fioritures » superfétatoires pour tout « Matheux rigoristes-intégristes » dont, Dieu soit Loué, (à quel taux ?), vous ne semblez pas faire partie. Merci à vous.
Je termine en vous informant que je ne suis pas Mathématicien, (je n’ai même pas mon Certificat d’études), et que MON développement date d’une époque où Julien Clerc était encore en culottes courtes.
Mes « fioritures » n’ont été ajoutées que longtemps après, juste pour mon plaisir personnel, et peut-être du vôtre. Le plaisir s’accroît quand l’effet se recule.
Très cordiales salutations.