Déterminant et divisibilité
Les déterminants — étudiés depuis des siècles, mais toujours sources de beaux énoncés de colle. On finit jamais d’apprendre. Voici un bel exercice pour mes lecteurs.
Montrer que le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans {-1,1} est un multiple de 2n-1.
Il suffit d’ajouter la ligne 1 à chacune des lignes 2, 3,…, n et ensuite de mettre 2 en facteur dans les lignes 2, 3,…, n. Mais c’est vrai que l’énoncé surprend au départ.
Ha, cette preuve de JLT est beaucoup mieux que celle que j’avais en tête et qui découlait d’une formule qui était l’objet principal d’une autre question préparatoire:
Soit A une matrice carré d’ordre n telle que a11 est non nul. On note B la matrice carrée d’ordre n-1 définie par bij = a11aij–a1jai1 pour i,i entre 2 et n. Alors det(A)=a112-n×det(B).