Limite d’une somme

Aujourd’hui mon collègue LK m’a envoyé le message suivant avec une formule qui ressemble un peu à celle de Leibniz sur le somme alternée 1-1+1-1±…=½.

Bonsoir B, voici un exercice pour Mathoman.
Il s’agit de déterminer la limite en 0 de la fonction suivante

\(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+n^2x^2}}\)

Elle vaut 1/2, j’ai un peu réfléchi mais n’arrive pas à le démontrer…

3 réponses

JLT dit :
1 décembre 2012 à 12h41

Une idée mais j’ai la flemme de rédiger :

1) Poser \(h(t)=(1+t^2)^{-1/2}\). On veut calculer la limite de \(\sum_n (-1)^nh(nx)\) quand x tend vers 0.

2) Cette somme vaut \(-\sum_k \int_{2kx}^{(2k+1)x} h'(t)\,dt\).

3) On l’approche par \(-\dfrac{1}{2} \int_0^\infty h'(t)\,dt=\dfrac{1}{2}(h(0))=\dfrac{1}{2}.\)
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JeanN dit :
1 décembre 2012 à 19h29

Bonjour
un petit réarrangement de la somme permet de sommer des termes positifs. on effectue ensuite une comparaison série intégrale (merci à Maple pour certains calculs un peu pénibles à la main…)
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MathOMan dit :
19 décembre 2012 à 22h15

Merci pour cette réponse. C’est en effet un peu astucieux 😉
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