Matrice d’ordre fini et diagonalisation
Pour continuer la nouvelle série de questions de colles innocentes, mais avec arrière pensée, je pose aujourd’hui un exercice d’algèbre linéaire:
Soit A une matrice d’ordre fini dans le groupe GL(n,C). Est-elle forcément diagonalisable?
Si \(A=I_n\), il n’y a rien faire.
On suppose \(A\neq I_n\) et on note \(d\geq 2\) son ordre dans le groupe \(GL(n,\mathbb{C})\). Alors:
\(X^d-1=\prod_{k=0}^{d-1}(X-\zeta^k)\in\mathbb{C}[X]\)
où \(\zeta\) est une racine primitive \(d\)-ième de l’unité, est un polynôme annulateur \(A\) scindé à facteurs simples.
La matrice \(A\) est donc diagonalisable.
Exactement. Voir aussi ce billet à ce sujet.