Coefficients d’un polynôme
Par quelle méthode montreriez-vous cet énoncé, en utilisant le programme de CPGE?
Soit p>2 un nombre premier et Q=(X+1)(X+2)…(X+p-1). Alors tous les coefficients de Q, sauf les deux correspondant aux degrés le plus haut et le plus bas, sont divisibles par p.
La preuve n’est pas difficile si on s’y prend bien.
Je regarderais le polynôme dans \(\mathbb{F}_p[X]\): en considérant ses racines, on trouve que \(XQ(X)=X^p-X=X(X^{p-1}-1)\).
Dans la filière MP, le programme permet sans doute de dire que dans le corps \(K=\mathbf Z/p\mathbf Z\), le polynôme \(A=X^{p-1}-1\) et le polynôme de l’énoncé admettent tous les éléments non nuls de \(K\) comme racines, puis d’en déduire que \(A=Q\).
Pour ma part, je vais utiliser les formules de Cramer, le petit théorème de Fermat et le théorème de Wilson. Voici comment. Notons
\(\sum_{k=0}^{p-1}c_kx^k\)
le développement du polynôme. On a \( c_0=(p-1)!, c_{p-1}=1\). Comme le polynôme s’annule pour
\(x=-1,…, 1-p\)
il vient
\(\sum_{k=1}^{p-2}(-r)^kc_k=-\left((-r)^{p-1}+(p-1)!\right)\)
pour \( r=1,2,…,p-2\). D’une part, les seconds membres sont nuls modulo \(p\). D’autre part, le déterminant des coefficients des \(c_k, k=1,…,p-2\) est au signe près le produit de \((p-2)!\) et du déterminant de Vandermonde construit sur
\(-1,-2,…,2-p\)
Comme aucun de ces deux facteurs n’est divisible par \(p\), il résulte des formules de Cramer que les \(c_k,k=1,…,p-2\) le sont.
Merci pour vos preuves. Celle de Pierre Lecomte est intéressante, mais c’est celle de Rimski et PB qui est la plus courte. Je la détaille, pour que nos lecteurs étudiants la comprennent:
On considère le polynôme Q comme polynôme dans Z/pZ[X]. Puisque p est premier, l’anneau Z/pZ est un corps et donc Z/pZ\{0} est un groupe d’ordre p-1. On sait que l’ordre de chaque élément du groupe divise l’ordre du groupe (théorème de Lagrange). Donc tout élément de Z/pZ\{0} est racine du polynôme R=Xp-1-1. Ainsi la différence Q–R est un polynôme de degré au plus p-2 et ayant p-1 racines; elle est donc nulle, c’est-à-dire Q=R. Autrement dit, les coefficients en question sont nuls modulo p.
Voir aussi ce billet à ce sujet.