La comatrice conserve la multiplication
La comatrice com(M) d’une matrice carré M d’ordre n est la matrice des cofacteurs, c’est-à-dire sa composante en (l,k) est \(\small{(-1)^{l+k}}\) fois le déterminant de la matrice qui s’obtient lorsqu’on ôte à M sa l-ème ligne et sa k-ème colonne.
Mais c’est surtout la transposée de la comatrice qui nous intéresse ; elle s’appele matrice complémentaire
(en allemand Adjunkte
, en anglais adjugate matrix
) et on démontre dans tout cours d’algèbre linéaire qu’elle vérifie la propriété fondamentale :
Par conséquence si on travaille avec des coefficients dans un anneau A, alors la matrice M est inversible dans l’anneau matriciel à coefficients dans A si et seulement si le scalaire det(M) est inversible dans l’anneau A. Par exemple les matrices inversibles sur \(\small\mathbb{Z}\) sont précisément celles dont le déterminant est 1 ou -1.
Exercice : Démontrer que com est compatible avec la multiplication matricielle,
com(I) = I et com(MN) = com(M) com(N).
Bonjour,
Voici une preuve un peu conceptuelle. Notons A l’anneau commutatif de base. L’entier n est fixe. Pour tout A-module M, on notera M’ le A-module des formes (n-1)-lineaires alternees sur M.
La correspondance M->M’ est fonctorielle au sens suivant. On associe a toute application A-lineaire f:M->N l’application A-lineaire f’:N’->M’ definie par : f'(h) est la forme (n-1)-lineaire sur M’ qui associe h(f(x_1),…,f(x_(n-1))) a (x_1,…,x_(n-1)). Tout ce qu’il y a de plus canonique. Et si f:M->M et g:N->P sont A-lineaires, on a bien :
Propriete 1.
(gof)’=f’og’
(la verification est triviale !)
Propriete 2.
Si M est libre de rang n alors M’ aussi.
(resulte d’un theoreme bien connu sur les formes lineaires alternees et du fait que "(n-1) parmi n"=n)
Dans le cas particulier ou M=A^n, M a une base canonique, et M’ aussi. Donc si U est une matrice carree de taille n, on peut lui associer naturellement une matrice U’.
Propriete 3.
U’=transposee(Com(U)) ou pas loin.
(preuve : on devrait prendre cette egalite comme definition de Com(U) 🙂 (plus serieusement, la il faut ecrire les calculs…)
Denouement : avec les proprietes 1,2,3 il est clair que Com(UV)=Com(U)Com(V).
Oui, effectivement, ça serait trop beau de pouvoir le faire sans aucun calcul ! Je ne connaissais pas cette idée de preuve. Comme tu n’as pas eu droit à un excédent de bagages sur ton vol vers l’Île Maurice je suppose qu’elle ne vient pas d’un gros pavé comme le Godement…
Ahah 😀
Tu as presque tout faux :
1) Elle vient quand meme d’une ancienne lecture d’un quelconque gros pave d’algebre (que je n’ai pas apporte en effet)
2) J’ai apporte un gros pave d’initiation a l’analyse (Arnaudies …) pour faire des revisions et surtout pour la conscience 😉
PS : je me demande meme si je n’ai pas pris cette photo pendant une lecture du Arnaudies !
PS du PS : j’ai tente d’ecrire un lien en BBCode, on verra bien. Et desole de ne pas avoir utilise le BBCode pour LaTeX dans ma solution.
Bonjour,
je suis de passage sur ce blog. L’identité est évidente pour des matrices inversibles à coefficients complexes. De plus, si
P : M_n(C) x M_n(C) –> M_n(C) est le polynôme P(M,N)=com(MN)-com(M)com(N) alors P s’annule sur un ouvert, donc est le polynôme nul. En considérant maintenant P comme une fonction de M_n(A) x M_n(A) dans M_n(A), on obtient le résultat.
Plus généralement, toute identité polynomiale à coefficients entiers valable sur les matrices complexes inversibles est encore valable sur toutes les matrices (inversibles ou non) sur un anneau commutatif quelconque.
C’est même plus général car \( GL(n,\mathbb C) \) est dense< dans l’ensemble de toutes les matrices complexe. Le caractère polynômial n’est pas nécessaire : la continuité suffit.
J’entendais sur le corps des complexes. Pour un anneau quelconque mon <<plus général>> ne fait pas sens. Désolé!
Puisque l’application \(f:=\mathrm{Com}\) est un homomorphisme de groupes de Lie, sa différentielle en le neutre est un homomorphisme d’algèbres de Lie.
Et de fait, on peut vérifier que
\(f_{*I_n}A=\mathrm{tr}(A)I_n-\widetilde{A}.\)
Ce qui est amusant c’est que, visiblement, cette application est bijective (sauf en dimension 1). Ceci corrobore le fait que \(\mathrm{Com}\) est un difféomorphisme local!