Une ligne brisée dans le cube

Voici un exercice de géométrie dans l’espace qu’on m’a posé récemment: Soit L une ligne polygonale* sans point double, de longueur 300 et contenue dans le cube unité [0,1]3. Montrer qu’il existe un plan parallèle à un plan de coordonnées de R3 contenant au moins 101 points de L.

* Il s’agit de l’image L d’une application continue f de [0,1] dans R3 affine par morceaux sur une subdivision finie de [0,1]. Dire que L est sans point double signifie que f est injective. La notion de longueur est évidente.

4 réponses
  1. taupo
    taupo dit :

    x(n)=1-1/n, y(n)=x(n), z(2k)=1/2+1/(2k) et z(2k+1)=1/2-1/(2k+1) vous donne une ligne brisée aussi longue que vous voulez sans jamais 2 points dans un même plan parallèle aux plans des coordonnées non ?

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  2. FelixCQ
    FelixCQ dit :

    @taupo, c’est ce que j’avais pensé au début, mais laquestion parle en fait de point de la ligne L, pas forcement d’un point où la ligne est brisée…

    En particulier, dans l’exemple mentionné, le plan z = 1/2 contient exactement 1 point de chacun des segments de la ligne brisée, donc bien plus de 300…

    Si l’on considérait une ligne brisée allant de coin en coin en n’utilisant que des cotés entiers du cube, on peut se débrouiller pour n’avoir que 100 points dans chacune des directions… Mais on aurait des points doubles, sans compter les plans contenant des faces entières…

    Je suis convaincu du résultat, mais je n’ai aucune idée de comment le prouver 🙂

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  3. JLT
    JLT dit :

    Soit n=100. Notons (x(t),y(t),z(t)) (\(0\le t\le T\)) la courbe. On peut supposer qu’aucun segment n’est parallèle aux axes de coordonnées. Pour presque tout t, les fonctions x, y et z sont dérivables en t et on a \(|x'(t)|+|y'(t)|+|z'(t)|>\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\), donc l’une des trois courbes \(t\mapsto x(t)\), \(t\mapsto y(t)\), \(t\mapsto z(t)\) est de longueur \(>n\). Quitte à permuter les coordonnées, on peut supposer qu’il s’agit de \(t\mapsto x(t)\).

    On vérifie que si \(N(u)\) est le nombre de points t tels que \(x(t)=u\), alors \(\int_0^T |x'(t)|\,dt=\int_0^1 N(u)\,du\), donc il existe \( u\) tel que \(N(u)>n\).

    On en déduit que le plan d’équation \(x=u\) coupe la courbe initiale en au moins \(n+1\) points.

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