Exercice d’arithmétique
Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol’d et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la plupart à JLT). Le voilà, dans un billet à lui tout seul !
Exercice de PB : calculer la signature de la (multiplication par 541 modulo 1223).
Remarquons d’abord que 1223 est premier, donc (Z/1223Z,+,*) est un corps et par suite, la multiplication par 541 est un automorphisme de corps.
Cet automorphisme laisse invariant le 0 mais permute tous les 1222 autres éléments; un 1222-cycle. La signature de ce fait est alors -1.
C’est un automorphisme de groupe additif et non de corps. De plus, ce n’est pas un 1222-cycle (en fait mon ordinateur calcule que 541 est d’ordre 611 dans le groupe multiplicatif \((\mathbb{Z}/1223\mathbb{Z})^*\) donc c’est un produit de deux 611-cycles, par conséquent la signature est 1).
Pour calculer sans ordinateur, il faut utiliser le symbole de Legendre. Une manière efficace pour le calculer est expliquée sur Wikipedia.
L’exercice de PB est un cas particulier du théorème de Frobenius-Zolotarev, dont la preuve est exposée… par exemple sur le site de PB.
Ce dernier théorème se trouve d’ailleurs sur la feuille d’exercices de Debarre et Laszlo ici (voir exercice 1.9).
Il y a seulement besoin de Frobenius-Zolotarev en dimension, c.a.d. pas vraiment besoin de Frobenius-Zolotarev 🙂
La signature de la multiplication par x modulo 1223 (en supposant x non nul modulo 1223) est égale au symbole de Legendre (x/1223), lequel se calcule par le théorème de réciprocité quadratique.
La preuve (les grandes lignes) c’est que les applications x–>signature de la multiplication par x modulo 1223 et x–>(x/1223) sont deux morphismes non triviaux de (Z/1223Z)* dans {-1,1} donc ils sont égaux 🙂