Points colorés dans l’espace
La question suivante est certainement dans le goût de certains lecteurs du blog, un typique petit problème sur lequel nous matheux aimons perdre notre temps…
Tout point de l’espace (trois dimensions) est coloré avec une de cinq couleurs, et toutes ces cinq couleurs interviennent. Montrer qu’il existe un plan contenant au moins quatre couleurs.
D’abord des notations:
Les 5 couleurs sont désignés par 1, 2, 3, 4 et 5.
Pour tout point M de l’espace E, on note c(M) la couleur de M.
Pour toute partie A de l’espace E, on note Ai l’ensemble des points de A de couleur i.
Ainsi, pour tout i, Ei est non vide (toutes les couleurs interviennent)
Ensuite, je raisonne par l’absurde:
Supposons que tout pour plan P de l’espace E, card{i/Pi non vide}<4.
Fixons deux points M1 et M2 tels que c(M1)=1 et c(M2)=2.
Ces deux étant distincts, puisque de couleurs différentes, permettent de définir une droite
D.
Comme les points de la droite D sont colorés avec au plus 3 couleurs (sinon, pour tout plan passant par D, les points sont colorés avec au moins 4 couleurs!)
il existe un point M hors de D tel que c(M3)=3.
Considerons alors le plan P passant par ces trois points M1, M2 et M3.
Dans ce plan, il n’y a que ces trois couleurs 1, 2 et 3.
Donc, fixons un point M4 tel que c(M4)=4
Les 4 points M1, M2, M3 et M4 ne sont pas coplanaires, donc forment un trièdre qui permet de définir tout l’espace E.
Soit M5 un point de l’espace tel que c(M5)=5.
Considérons la droite joignant M1 et M5.
Elle coupe le plan passant par M2, M3 et M4 en un point N
Or pour ce plan, on n’a que des points de couleur 2, 3 ou 4.
Supposons c(N)=2
Soit alors le plan P’ passant par le point M3 et par la droite joignat M1, M5 et N.
Pour ce plan P’, on a donc au moins 4 couleurs 1, 2, 3 et 5.
Contradiction!
D’où:
Il existe au moins un plan pour lequel card{i/Pi non vide}>3 (au moins 4 couleurs)
Voilà!
Il se peut qu’il y ait des maldresses au niveau de la rédaction!
Mais le raisonnement est correcte!
J’essaierai de revoir ma copie et je me permettrai de proposer ce problème avec la solution sur mon blog perso recreation-hmp.blogspot.c…
La solution peut être présentée plus simplement, comme suit:
Soient M1, M2, M3, M4 et M5, cinq points de l’espace E, chacune de couleur différente.
Si M1, M2, M3 et M4 sont coplanaires, alors c’est terminé.
Sinon, on considère P un plan passant par les trois points M2, M3 et M4.
Soit N l’intersection de ce plan avec la droite passanr par M1 et M5.
Si N est coloré comme M1 ou M5, alors le plan P contient au moins quatre points de couleurs différentes.
Sinon, le point N est coloré comme M2, ou M3 ou bien M4.
Supposons que N et M2 soient de la même couleur.
Alors le plan contenant la droite (M1M5) et passant par le point M3 passe également par le point N, donc contient au moins quatre points de couleurs différentes. cqfd.
C’est plus simple que le raisonnement par l’absurde!
Merci..
Il y a une erreur dans le message de Mita car il n’a pas été prouvé que la droite (M1 M5) coupe le plan (M2 M3 M4). Voici ma preuve (qui est bien sûr analogue):
On suppose par l’absurde que tout plan contient au plus 3 couleurs.
D’abord, toute droite contient au plus 2 couleurs, car si elle contenait 3 couleurs, un plan contenant cette droite et un point d’une quatrième couleur contiendrait 4 couleurs.
Ensuite, si A, B, C, D, E ont des couleurs différentes, alors trois de ces points ne sont pas
coplanairescolinéaires (NDLR) d’après ce qui précède. De plus, le plan (ABC) et la droite (DE) ne peuvent pas se couper, sinon un point d’intersection M devrait avoir à la fois la même couleur que l’un des points D et E, et la même couleur que l’un des points A,B,C.On a ainsi montré que (DE) est parallèle à (ABC).
Considérons le parallélépipède dont A,B,C,D sont des sommets. Notons A’,B’,C’,D’ les sommets opposés. Alors E se trouve sur le plan contenant A’, B’, C’ et D. De même, il est sur le plan contenant A’, B’, D’ et C, donc il est sur la droite (A’B’). De même, il est sur la droite (B’C’) ainsi que sur la droite (C’A’). Or, l’intersection de ces trois droites est vide. Contradiction.
Quand même, j’ai omis le fait que la droite (M1M5) pouvait être strictement parallèle au plan passant par M2, M3 et M4 !!!
Mais dans ce cas, on change de droite et de plan; on considère la droite (M2M5) et le plan passant par M1, M3 et M4. Ces deux derniers ne peuvent être parallèles, sinon:
vect(M1M2)=vec(M1M5)+vect(M5M2)
=a.vect(M2M3)+b.vect(M2M4)+c.vect(M1M3)+d.vect(M1M4)
=(c+a)vect(M1M3)+(d+b)vect(M1M4)-(a+b)vect(M1M2)
donc (1+a+b)vect(M1M2)=(c+a)vect(M1M3)+(d+b)vect(M1M4)
donc les quatre points M1, M2, M3 et M4 seraient coplanaires! Ce qui n’est pas le cas à ce niveau de démonstration!
(ce n’est qu’après avoir terminé la rédaction de ces mêmes lignes que j’ai remarqué le commentaire de JLT )
Merci pour vos preuves ! Dans celle de JLT je viens de corriger ce qui me semble une petite erreur.
Effectivement il y avait une erreur.
Je me suis aussi rendu compte que j’étais imprécis à un autre endroit de mon message : je voulais dire "Considérons le parallélépipède dont [AB], [AC], [AD] sont des arêtes".
En fait il y a encore une erreur dans mon message. Voici le dernier paragraphe rectifié:
Considérons le parallélépipède dont [AB], [AC] et [AD] sont des arêtes. Notons A’,B’,C’,D’ les sommets opposés. Alors E se trouve sur le plan contenant A’, B’, C’ et D. De même, il est sur le plan contenant A’, B’, D’ et C et le plan contenant A’, C’, D’ et B. L’intersection de ces trois plans est {A’}, donc E=A’. Comme la droite (AE) coupe le plan (BCD) (le point d’intersection est l’isobarycentre G de B,C,D), on obtient une contradiction car G doit avoir la même couleur que l’un des points A ou E, et aussi la même couleur que l’un des points B, C ou D.
Effectivement, j’avais vu une erreur de JLT mais je n’ai pas osé la signaler sachant qu’il va lui même la rectifier.
Justment c’est l’isobarycentre qui permet d’aboutir à une contradction.
Je suis passé au degré inférieur, au cas plus simple du plan affine ( dim 2) avec 4 couleurs à utiliser pour colorer les points ( dans ce cas, on démontre qu’il y a une droite utilisant au moins 3 couleurs)
Pour aboutir à une contradiction, on est amené à travailler sur un parallélogramme ainsi que son centre. Chic!
Ceci dit, on peut généraliser ce résultat en énonçant:
"Soit E un espace affine de dimension n (n>=2).
Chaque point de E est coloré par l’une des n+2 couleurs.
On admet que toutes ces n+2 couleurs sont utilisées.
Alors, il existe un hyperplan contenant au moins n+1 couleurs."
Bien-sûr, dans les deux cas "concrets", on peut s’aider de nos facultés visuels.
Mais dans le cas général?!!
Cependant, on a une idée sur la piste qui doit mener à la contradiction en cas de raisonnement par l’absurde: parallélisme d’hyperplans et isobarycentre.
Il suffit de rédiger alors…
Bien le bonsoir à vous tous…
Voir aussi le blog de Farid Mita pour une question similaire.