Le problème du maître et son chien

1. 

   Charly dit :

   19 mars 2009 à 15h08

   Le temps est identique pour les 2, donc en connaissant le temps de marche du maître, il suffit d’appliquer la formule e=v*T, v la vitesse, T le temps (identique pour les deux) et e l’espace parcouru (ce que l’on cherche).

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2. 

   Mathoman dit :

   19 mars 2009 à 23h21

   Oui, en effet, c’est aussi simple que Charly le dit.

   Raisonnement du physicien :

   • Le maître parcourt 10 km. Le chien court deux fois si vite et pendant la même durée que son maître ; il parcourt donc 20 km.

   Ce raisonnement de physicien, c’est la bonne méthode pour résoudre ce problème. Or un mathématicien auquel on pose ce problème aurait tendance à le traiter comme suit.

   Raisonnement du mathématicien :

   • Il calcule la distance parcourue par le chien entre le moment de départ et le moment où il rejoint son maître pour la première fois. Cette distance se compose de deux parties, d’abord les 10 km jusqu’à la maison, puis la distance de retour au maître. Au moment où le chien atteint la maison le maître est à 5 km, donc le chien le rencontre à 2/3 de cette distance. La distance complète, toujours en km, est donc

     \(10+5\times\frac23=\frac{40}3\:.\)

   • Puis le mathématicien remarque que cette première retrouvaille entre maître et chien se fait à 10/3 km de la maison. Donc on se retrouve dans la même situation qu’au début seulement avec une distance initiale divisée par 3. Le matheux et heureux car il s’est ramené à un problème déjà connu ! La distance faite par le chien entre sa première et seconde retrouvaille du maître est alors

     \(\frac{40}3\times\frac13\:.\)

   • Les distances parcourues par le chien entre deux retrouvailles consécutives s’obtiennent alors toujours en divisant la précédente distance par 3. La distance totale parcourue par le chien est alors la somme infinie

     \(S\,=\,\frac{40}3\;+\;\frac{40}3\times\frac13\;+\;\frac{40}3\times\left(\frac13\right)^2\;+\;\frac{40}3\times\left(\frac13\right)^3\;+\;\cdots\)

     Maintenant le mathématicien est encore plus content car il reconnaît une série géométrique dont il maîtrise aisément le calcul de la limite :

     \(S\,=\,\frac{40}3\,\sum_{k=0}^\infty\,\left(\frac13\right)^k\:=\:\frac{40}3\,\times\,\frac1{1-\frac13}\:=\:\frac{40}{3-1}\:=\:20\,.\)

     Tiens, se dit-il, un nombre entier !

   Une histoire vraie (mais peut-être pas) :

   L’histoire drôle qu’on m’a raconté là-dessus, c’est que dans les années 1950 un étudiant en psychologie a posé ce problème à des physiciens et mathématiciens américains afin de faire une statistique sur leur méthodes de résolution. Il arrive alors chez le grand mathématicien John von Neumann (1903-1957) et lui pose le problème. Neumann répond très vit, déjà après une seconde : 20 km !
   Mais, Mr von Neumann, dit l’étudiant supris, je pensais vous êtes mathématicien !
   Absolument, répond von Neumann.
   Alors pourquoi n’êtes-vous pas passé par la série géométrique ?
   Mais si, je suis passé par la série géométrique !

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3. 

   Fabien Besnard dit :

   26 mars 2009 à 14h46

   Et l’ingénieur de répondre : environ \(20 -\ell\), où \(\ell\) est la longueur du chien.

   Finalement c’est la réponse du mathématicien qui permet de trouver la valeur la plus correcte. Il suffit de couper la série dès que \(40/3^{k+1}\,<\,\ell\).

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4. 

   MathOMan dit :

   27 mars 2009 à 13h59

   Haha, on voit que tu enseignes dans une école d’ingénieurs 😉

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