Deux axes de symétrie radiale
Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l’espace.
On dit qu’un objet dans l’espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l’objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe central.
On dit que l’objet est convexe s’il contient avec deux points A et B aussi tout le segment [A,B]. Et on dit qu’il est borné s’il ne sétend pas infiniment, ou autrement dit s’il existe une boule (éventuellement très grande) le contenant.
Question :
Que pouvez-vous dire sur un objet convexe, borné et invariant par rapport à deux axes de rotation ?
C’est une sphère ?
sphère c’est une coquille, je voulais dire boule ouverte ou boule fermée pour la distance euclidienne
Exact.
(on montre que les axes passent par le centre de gravité, puis que l’objet est invariant par toute rotation.)
Je voulais dire par toute rotation dont l’axe passe par le centre de gravité.
Oui, j’avais trouvé ça aussi mais la marge est trop petite pour que je mette la démonstration 😉
(blague à part, je n’arrive pas du tout à formaliser l’intuition pour écrire une preuve "propre")
Et si on enlève certaines des hypothèses, on obtient quoi de plus ?
(par exemple si on enlève convexe, on peut obtenir aussi les coquilles sphériques ouvertes ou fermés ou "mixtes")
Soit C un objet borné non vide (non nécessairement convexe), et soit G le groupe des rotations qui conservent C. Soit C’ l’ensemble des points qui sont à distance <1 de C. Comme C’ est un ouvert non vide et borné, il possède un centre de gravité. Quitte à changer d’origine, on peut supposer que le centre de gravité de C’ est O. Or, G laisse C’ invariant, donc O également.
Soit A l’ensemble des points M de la sphère unité S de centre O tels que C soit invariant par rapport à l’axe OM. On constate que si r et s sont des rotations d’axes OM et ON, alors \(rsr^{-1}\) est d’axe Or(N). Donc si M et N appartiennent à A, le cercle (sur la sphère S) de centre M et de rayon d(M,N) est inclus dans A. En appliquant ce qui précède à deux points quelconques de ce cercle, on obtient que la calotte \(\{x\in S/\; d(M,x)\le 2d(M,N)\}\) est incluse dans A. Par une récurrence immédiate, \(\{x\in S/\; d(M,x)\le 2^n d(M,N)\}\) est inclus dans A pour tout entier n, donc S est inclus dans A. Ceci prouve que toute rotation d’axe passant par O appartient à G, donc que C est une réunion de sphères concentriques.
Voilà, tout est dit ! Clairement. Bravo !
Je ne devais pas être au niveau pour celui-là…
J’imagine que le caractère "ensemble ouvert borné implique existence du centre des masses" est un théorème classique qui doit dire d’une fonction continue est intégrable sur un ouvert borné de R3…
Par contre, je ne vois pas bien pourquoi (sans invoquer d’une certaine façon la convexité) ce centre des masses devrait être un élément de C’ (ou alors c’est implicite dans vos lignes)
Pour le fait que G conserve aussi C’ si il conserve C, je crois saisir :
Quelle que soit la rotation g de G considérée, l’image d’un point M de C qui est à distance d<1 d’un point N de C’ possède une image M’ par g qui est aussi à distance d du point image par g de N=g(N’).
Donc N’ est dans C’ et donc Im(g,C’) inclu dans C’. On a la réciproque. Si A est dans C’ alors on peut lui associer un point B de C tel que d(A,B)=s<1. B’=g^-1(B) est aussi dans C car g-1 est une rotation de G aussi, et A’=g^-1(A) vérifie d(A’,B’)=d(A,B)=s et s<1 et donc A’ est dans C’, et comme A=g(A’), A est dans Im(g,C’) et donc C’ inclu dans Im(g,C’))
J’ai ensuite aussi du mal pour "formaliser" le fait que G conserve alors O (je comprends bien intuitivement que si l’ensemble est invariant par une rotation, le centre de gravité de l’ensemble image est le même que celui de l’ensemble de départ mais pour le montrer proprement… c’est un changement de variable dans l’intégrale volumique qui défini le centre de gravité c’est ça ? ou alors c’est une autre définition du centre de gravité qui rend cela plus immédiat)
Pour la suite, je comprends sans avoir besoin de détailler davantage… (ouf !)
En tout cas, merci pour ces "exercices" remue méninges !
Le centre de gravité F de C’ est défini par
\(F=(1/V)\int_{m\in C’} m dm\), où dm = dxdydz est la forme volume et \(V=\int_{m\in C’}dm\) est le volume de C’. Ces intégrales ont un sens en théorie de Lebesgue car la fonction caractéristique d’un ouvert est mesurable, et V est non nul car C’ est un ouvert non vide, et V est fini car C’ est borné.
Pour tout \(g\in G\),
\(g(F)=(1/V)\int_{m\in C’}g(m)dm = (1/V)\int_{m\in g(C’)}mdm\) (d’après la formule de changement de variables dans les intégrales multiples et le fait que det(g)=1). Comme g conserve le volume, ceci montre que g(F) est le centre de gravité de g(C’). Or, g(C’)=C’ donc g(F)=F.
merci pour ces précisions…
Il manquait bien la brique "théorie de Lebesgue" dans ma valise mathématique…
Je ne sais pas pourquoi vous vous fixez sur le centre de gravité. On peut s’en passer si on argumente comme suit. Voici le résumé d’une preuve.
Soit C un sous-ensemble de l’espace euclidien.
Maintenant on suppose C borné non-vide et invariant par rapport à deux axes distinctes D et D’.
Montrons que D et D’ sont concourantes. Supposons par l’absurde que la distance entre D et D’ est strictement positive. Alors il existe P dans D et P’ dans D’ tels que la droite (PP’) est perpendiculaire à D et D’. Notons D » l’image de D par la rotation d’angle \(\pi\) et d’axe D’. Alors D » est perpendiculaire à (PP’) et passe par le point P’+(P’–P). Par une récurrence et à l’aide du lemme on déduit que pour tout entier k il existe un axe de symétrie de C perpendiculaire à (PP’) et passant par le point P’+k(P’–P). En particulier tout point de C possède un symétrique aussi loin qu’on veut — contradiction avec le fait que C est borné.
Notons O le point d’intersection de D et D’, S² une sphère de centre O, et N l’un des points d’intersection de S² avec D. Par rotation autour de D’ le point N décrit un cercle K. D’après le lemme on sait que (OT) est axe de symétrie de C pour tout T dans K. Par rotation autour de D le cercle K décrit une calotte sur la sphère S². D’après le lemme on sait que pour tout point T de cette calotte la droite (OT) est axe de symétrie de C.
En continuant ainsi, on peut élargir cette calotte pour finalement couvrir toute la sphère.
Par conséquence toute droite passant par O est axe de symétrie de C. On en déduit que si P est dans C, alors C contient toute la sphère de centre O et de rayon OP. Cela montre que C est une union de sphères concentriques. Et si, en plus, C est supposé convexe alors c’est une boule (ouverte ou fermée).