Dimension du commutant d’une matrice

1. 

   PB dit :

   12 juillet 2009 à 18h54

   Bonjour,

   On sait que A est semblable a une matrice diagonale par blocs B=diag(B(1),…, B(r)) ou B(i) est une matrice compagnon (compagne ?).
   Bien sûr Comm(A) et Comm(B) ont la même dimension.

   On peut voir qu’on est ainsi ramené au cas où A est une matrice compagnon, disons associée a un polynôme P, unitaire et de degré n.

   Il est bien connu que dans ce cas le polynôme minimal de A est P lui-même (et c’est aussi le polynôme caracteristique de A) donc la famille de matrices I,A,A^2,… est de rang n. Toutes ces matrices commutent avec A, d’où le resultat.

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2. 

   MathOMan dit :

   13 juillet 2009 à 10h57

   Une belle preuve que tu nous envoies de ton lieu de vacances — l’absence des accents (je viens de les ajouter) laisse deviner que tu tappes sur un clavier non-français.

   Ma démonstration est un peu différente, elle passe par un théorème plus difficile mais plus connu que celui de la matrice compagnon : la forme de Jordan sur un corps de rupture du polynôme caractéristique de A. Ainsi on est ramené au cas où A est de la forme d’un bloc de Jordan A=aI+N. Il est alors clair que les matrices I, N, … , N^{n-1} commutent avec A.

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3. 

   PB dit :

   13 juillet 2009 à 13h08

   Bien vu pour les accents 🙂
   Nos preuves se ressemblent evidemment beaucoup (et a ma connaissance demontrer la reduction "de Jordan" ou "en matrices compagnons" c’est a peu pres pareil) mais il faudrait ajouter quelque chose a la tienne (ou est-ce trop evident ?) : tu montres le resultat apres extension des scalaires, ne faut-il pas expliquer comment on redescent ? (ok c’est vraiment evident … "C-libre implique R-libre").

   A bientot

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4. 

   MathOMan dit :

   13 juillet 2009 à 13h29

   Oui, en effet je ne l’ai pas détaillé car c’est l’argument classique : A induit un endomorphisme sur L^n où L est une extension du corps initial. Le rang de cet endomorphisme est égal à l’ordre du plus grand mineur non-nul de la matrice A et donc ne dépend pas du corps.

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5. 

   anto dit :

   22 juillet 2009 à 12h57

   ne peut on pas trouver de demonstration COMPLETE pas trop compliquée.
   De plus pouvez vous m’aider à montrer que si dimC(u)=n alors dimKeru=1 ou 0
   Merci

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6. 

   MathOMan dit :

   23 juillet 2009 à 15h55

   Les démonstrations proposées ci-dessus par PB et moi sont COMPLETES — où voyez-vous un trou ?

   Voici une autre preuve, moins algébrique et seulement valable pour des matrices réelles ou complexes.

   Supposons d’abord la matrice A complexe. L’énoncé est clair si A est une matrice diagonale (car elle commute avec toute autre matrice diagonale) et donc, par conjugaison, aussi si A est une matrice diagonalisable. Pour le cas général on utilise le fait que l’ensemble des matrices diagonalisables complexes est dense dans l’ensemble des matrices complexes (voir une preuve par exemple ici ou, mieux, là) ainsi que le lemme suivant.

   Lemme : Si chaque matrice d’une suite convergente de matrices est de rang au plus k, alors la matrice limite est aussi de rang au plus k. (En autres mots, par passage à limite le rang ne peut augmenter — c’est d’ailleurs une évidence géométrique.)

   Je vous laisse le soin de prouver ce lemme (utilisez la continuité des sous-déterminants). On l’applique alors à la matrice n²xn² de l’endomorphisme qui à une matrice carré X d’ordre n associe AX–XA. Le noyau de cet endomorphisme est précisément le commutant de A.

   Le cas des matrices réelles se fait en prenant une suite de matrices complexes diagonalisables (l’ensemble des matrices diagonalisables réelles n’est pas dense dans l’ensemble des matrices réelles).

   Concernant votre autre question, à savoir l’implication « si dim(Comm(A))=n alors dim(Ker(A))=1 ou 0″, je vous propose l’idée suivante. Si dim(Ker(A)) est supérieur ou égal à 2, alors la matrice de Jordan de A possède deux blocs avec valeur propre nulle. On peut alors montrer par un calcul direct que la dimension de Comm(A) est strictement plus grande que n.
   (Mais il y a probablement une démonstration plus élégante.)

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7. 

   anto dit :

   6 août 2009 à 14h39

   merci de vos reponses
   une demonstration est conplete lorsqu elle n utilise pas un resultat complique du stlyle decomposition de jordan ou en matrices compagnon

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