La comatrice com(M) d'une matrice carré M d'ordre n est la matrice des cofacteurs, c'est-à-dire sa composante en (l,k) est \small{(-1)^{l+k}} fois le déterminant de la matrice qui s'obtient lorsqu'on ôte à M sa l-ème ligne et sa k-ème colonne.
Mais c'est surtout la transposée de la comatrice qui nous intéresse ; elle s'appele matrice complémentaire (en allemand Adjunkte, en anglais adjugate matrix) et on démontre dans tout cours d'algèbre linéaire qu'elle vérifie la propriété fondamentale :

^t\text{com}(M)\:M\;=\;M\:^t\text{com}(M)\;=\;\det(M)\:I\:.

Par conséquence si on travaille avec des coefficients dans un anneau A, alors la matrice M est inversible dans l'anneau matriciel à coefficients dans A si et seulement si le scalaire det(M) est inversible dans l'anneau A. Par exemple les matrices inversibles sur \small\mathbb{Z} sont précisément celles dont le déterminant est 1 ou -1.

Exercice :  Démontrer que  com  est compatible avec la multiplication matricielle,

com(I) = I      et      com(MN) = com(M) com(N).



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