La mouche et les araignées
J’ai acheté le numéro 391 du magazine Pour la Science
(mai 2010) car il y a un article sur l’harmonie musicale. Je suis plutôt déçu de cet article (j’écrirai une autre fois pourquoi), et finalement c’est un autre, même pas mentionné sur la couverture, que je trouve beaucoup plus intéressant : Les parasites manipulateurs
de F. Thomas et F. Libersat. Par exemple, un certain ver parasite influence le comportement de son hôte, une petite crevette, par des sécrétions chimiques de sorte que la crevette nage en surface au lieu de se cacher sous l’eau ; la crevette devient ainsi plus facilement proie des oiseux et ça convient au ver qui peut alors poursuivre son cycle de vie dans ce nouvel hôte plus grand.
Je vous recommande la lecture de cet article, il y a plein d’autres exemples surprenants.
A ce sujet un petit exercice de prédateur-proie (la similitude s’arrête là car il n’a rien à faire avec des questions de comportements ou de manipulation).
Casse-tête : Une mouche et deux araignées se déplacent sur les arêtes d’une cube. Toutes les trois se voient et ont la même vitesse constante. Prouver que les araignées finiront par attraper la mouche.
Dans la solution que j’ai trouvée je suppose que le temps de réaction de chaque animal est nul et qu’à tout moment l’animal peut changer de direction de mouvement. J’ignore si l’énoncé reste vrai sans ces hypothèses.
Notons A,B,C,D les sommets d’une face. Pour tout sommet X, on note X’ le sommet diamétralement opposé. On peut supposer que les arêtes ont pour longueur 1 m et que les insectes se déplacent à 1 m/s.
Désignons par a et b les araignées, et par m la mouche. Dans un premier temps, a se place en A et b se place en A’.
Premier cas: m se trouve sur la même arête que l’une des araignées. Sans perte de généralité, on peut supposer qu’à l’instant t=0, m se trouve sur l’arête [AB], a est en A et b est en A’.
Pour t compris entre 0 et 1, a se dirige vers B tandis que b effectue le mouvement suivant:
– tant que m se trouve sur [AB], b reste en A’
– si m est sur [BC] ou sur [BD’], b se met sur le symétrique de m par rapport à la droite CD’.
Si entre t=0 et t=1 la mouche n’a toujours pas été attrapée, alors à l’instant t=1, elle se trouve sur l’une des arêtes [BC] ou [BD’], et l’araignée a se trouve en B. Supposons par exemple que m se trouve sur [BC]. Alors pour t compris entre 1 et 2,
– a se dirige vers C
– b se met sur le symétrique de m par rapport à la droite CD’
Si la mouche atteint le point C, alors l’araignée b l’attrape. Dans le cas contraire, c’est l’araignée a qui l’attrape.
Deuxième cas : à l’instant t=0, a se trouve en A, b se trouve en A’, et m se trouve sur un arête ne contenant pas A ni A’, par exemple [BC]. Alors entre t=0 et t=1, a se dirige vers B et b se dirige vers C.
– si à t=1 la mouche est sur [BC] alors elle est "coincée" donc se fera attraper au bout de 1/2 seconde au maximum.
– si à t=1 la mouche est sur [CD] alors entre t=1 et t=2, a se dirige vers D’ et b se dirige vers D. Si la mouche n’a toujours pas été attrapée avant t=2, alors à l’instant t=2 on est ramené au premier cas.
Remarque : je ne sais pas généraliser cette preuve à d’autres espaces que l’ensemble des arêtes d’un cube. On pourrait se poser la question analogue pour une variété Riemannienne compacte, ou bien pour un complexe simplicial fini.
Comme d’habitude JLT a tout bon au niveau mathématique. Mais au niveau biologique il se trompe quand il suppose que . En fait, parmi nos trois protagonistes seulement un appartient à la classe des Insecta !
Les araignées (Arachnida) ont 8 pattes (les insectes 6), 2 parties de corps (les insectes 3), et n’ont ni ailes ni antennes (les insectes en ont souvent),…
En revanche, insectes et araignées font partie d’un même embranchement, les Arthropodes.
Merci pour la rectification, je n’avais effectivement pas conscience de la définition exacte d’un insecte. Par la suite, je veillerai à ne plus faire la confusion et je dirai "je devrais faire le ménage, il y a un peu trop d’arthropodes dans mon salon".