Enigme, devinette, petit problème, casse-tête, exo, exercices
Soit A la matrice carrée d’ordre 20 définie par les propriétés suivantes : le coefficient d’indice (j,k) vaut 0 si k=j, le coefficient d’indice (j,k) vaut 4 si k–j est pair et non-nul, le coefficient d’indice (j,k) vaut 5 si k–j est impair. Montrer que la matrice A est inversible (sur le corps des rationnels).
Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l’espace. On dit qu’un objet dans l’espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l’objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe […]
Vous avez un troupeau de 101 vaches vérifiant l’hypothèse suivante : chaque fois que vous prenez 100 vaches parmi elles il est possible de les séparer en deux parties de 50 vaches telle que les deux parties ont le même poids. Démontrez que toutes les 101 vaches ont le même poids. D’ailleurs, pour ceux qui se […]
Voici un joli exercice de géométrie dans le plan. L’énoncé est surprenant et semble plutôt simple, mais la démonstration ne l’est pas. Soit \(\scr{C}\) un cercle, A,B deux points distincts sur \(\scr{C}\) et M le milieu de la corde [AB]. Soient [PQ] et [SR] deux autres cordes passant par M. On note C (resp. D) […]
La comatrice com(M) d’une matrice carré M d’ordre n est la matrice des cofacteurs, c’est-à-dire sa composante en (l,k) est \(\small{(-1)^{l+k}}\) fois le déterminant de la matrice qui s’obtient lorsqu’on ôte à M sa l-ème ligne et sa k-ème colonne. Mais c’est surtout la transposée de la comatrice qui nous intéresse ; elle s’appele matrice complémentaire […]
C’est le moment de transmettre à mon père mes vœux d’anniversaire en forme d’une petite devinette. Aujourd’hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd’hui ? Pour résoudre cet exercice je conseille d’effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on […]
Après le grand succès de son dernier avis de recherche en algèbre linéaire mon collègue mathématicien Laurent Kaczmarek nous propose un nouvel exercice sympa sur les matrices. Soit A une matrice carrée d’ordre n. Montrer que son commutant (le sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A) est de dimension supérieure ou égale à n. […]
Mon ami Laurent Kaczmarek souhaite recenser toutes les démonstrations du résultat suivant d’algèbre linéaire. Un espace vectoriel de dimension finie sur un corps non-dénombrable n’est pas réunion dénombrable de sous-espaces vectoriels stricts. Preuves dans les cas réel ou complexe acceptées (et même souhaitées !).
Dans les commentaires à la question sur un pavage de rectangles notre cher bloggeur PB disait d’avoir entendu de l’existence d’une solution qui utilise le produit tensoriel, mais malheureusement il ne la connaissait pas. D’abord ça m’intrigait — car où est le produit tensoriel dans tout ça? Or finalement un lien entre nos rectangles et […]
Tout le monde connaît les petites devinettes qu’on se pose lors (ou à la place) d’un dessert après un déjeuner frugal au restaurant universitaire. Voici une jolie devinette géométrique : Sans lever la main, relier tous les neuf points suivants par quatre lignes droites. ° ° ° ° ° ° ° ° ° Ce n’est pas […]
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