Vladimir Arnold Trivium – conclusion
Avant les vacances d’été j’avais écrit un billet avec les exercices du Trivium mathématique de Vladimir Arnold. Grâce aux efforts estivaux de certains lecteurs, notamment de JLT, presque toute question a trouvé sa solution (sauf les 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74). Quelle conclusion peut-on tirer ?
D’abord ce trivium
est loin d’être trivial. Il apprend de l’humilité à beaucoup parmi nous, enseignants souvent spécialisés dans certains domaines, et nous rappelle qu’on a la mémoire courte, c’est-à-dire qu’on a tendance à oublier des choses si on ne les utilise/enseigne plus. Deuxièmement, on apprend à apprécier l’outil Wikipédia pour chercher des définitions ou clarifications de certaines notions. Je crois que j’aurais fait mes études plus facilement si Wikipédia avait déjà existé ; mais il y a encore dix ans il fallait aller à la bibliothèque, passer beaucoup de temps à ne rien trouver ou encore trouver des articles et livres où la notion recherchée apparaissait englobée par 200 pages de définitions ou théorèmes…
Mais laissons le dernier mot à l’auteur du Trivium lui-même : en fait, Arnold a écrit un Mathematical Trivium bis dans lequel il résume certaines réactions à son premier Trivium. En plus il y a aussi son texte sur l’enseignement des mathématiques et la vidéo suivante sur les mathématiques expérimentales :
Je partage avec vous l’idée qui consiste à formuler que les étudiants de nos jours sont beaucoup plus ressourcés que nous, il y a 30 ans!
Mais, je ne suis pas d’accord de citer Wikipedia comme référence, puisqu’étant une encyclopédie libre, elle regorge de grossières erreurs!!
…
Wikipédia est rarement le bon endroit où trouver le dernier mot sur un sujet, mais souvent un excellent endroit où trouver le premier!
Pour les maths, il y a aussi des ressources comme MathWorld ou PlanetMath.
Oui, Wikipedia n’est pas infaillible mais la qualité des articles augmente de plus en plus (et chacun parmi nous y apporte on grain). Et en consultant les articles en trois langues différentes (allemand, anglais et français) je ne reste presque jamais sur ma faim.
C’est facile de dire que wikipedia regorge d’erreurs, c’est moins facile d’en trouver une ! Qu’on me donne un exemple d’erreur de mathématiques dans la version anglaise de wikipedia. Personnellement je n’en ai jamais vue qu’une seule, et je l’ai corrigée immédiatement (encore s’agissait-il d’une erreur mineure de terminologie), et je suis un grand utilisateur de cet outil.
Moi aussi, je me refère le plus souvent à Wikipedia en premier lieu, juste pour me rafraîchir la mémoire. Ce qu’on pourrait reprocher à cette encyclopédie, c’est la rédaction collective qui n’est pas généralement cohérente. Depuis 2006, j’y ai contribué par correction, modification, reformulation, ajout, suppression, discussion, rédaction d’articles, … Il m’est arrivé d’être bloqué par moment. Ce qui est frustrant lorsqu’on utilise sa vraie identité, et non un pseudonyme.
Cette fin d’année, j’étais confondu avec d’autres contributeurs qui ne plaisaient pas trop aux "anciens rédacteurs" d’un article! Injustement, j’ai écopé d’un mois de suspension! Et je risque d’aggraver ma situation si j’oserai me défendre!! Cependant, je suis bon joueur.
Je confirme la qualité de la version actuelle de Wikipedia, comme l’a dit notre ami MathOMan. Puisque maintenant, c’est devenu une affaire de spécialistes de rédiger, réviser, mettre en forme bénévolement, les articles de divers domaines. Mes encouragements vont à la sympathique équipe d’administrateurs "insomniaques", de divers grades, qui veillent à la bonne marche du projet.
😉
Concernant la vidéo : je suis entièrement d’accord avec Arnold que la notion de déterminant doit être présentée comme une aire (ou volume), mais je ne suis pas d’accord avec ce qu’il dit sur l’introduction des variétés différentiables. Bien sûr, d’après de théorème de plongement de Whitney, à toute variété correspond exactement une classe d’isomorphie de sous-variétés de Rn, mais j’aurais du mal à concevoir de cette manière des variétés importantes comme l’espace projectif Pn ou encore la variété qu’est l’espace tangent TM à une sous-variété M ; les plonger dans un espace euclidien ne serait pas du tout naturel. De toute manière, l’étudiant qui a compris la notion de sous-variété, normalement enseignée avant les variétés abstraites, ne devrait pas rencontrer de difficultés quand on généralise aux variétés.
On peut aussi remarquer qu’Arnold aime provoquer et contredire. En fait, dans l’exemple du déterminant il préfère la présentation intrinsèque (sans coordonnées), tandis que dans l’exemple des variétés il dit de préférer le contraire, à savoir la présentation non-intrinsèque en coordonnées…
Je crois que l’idée d’Arnold, c’est qu’il ne faut pas commencer un cours de géométrie différentielle en énonçant la liste des axiomes, mais qu’il faut d’abord manipuler beaucoup d’exemples de sous-variétés de R^n. Bref, pour l’enseignement il préconise la méthode inductive plutôt que la méthode déductive.
De manière analogue, pour enseigner les groupes, il faudrait d’après lui commencer par connaître des exemples concrets de groupes agissant sur des ensembles (tels que le groupe des isométries du cube), se familiariser avec eux, et ensuite seulement l’axiomatique des groupes (associativité, existence d’un élément neutre, etc.) devient facile à comprendre et à retenir.
Pour parler de mon cas personnel, quand j’étais en terminale, ma prof nous avait dit que si on considère l’ensemble des homothéties et des translations du plan, alors il est stable par composition, possède un élément neutre et chaque élément possède un inverse, etc. et a dit que c’est un groupe (rapidement, et sans développer le sujet). C’est ce qui m’a permis de comprendre rapidement la définition d’un groupe l’année suivante.
De même, le fait d’avoir fait un peu d’arithmétique et notamment de manipuler Z/nZ m’a permis de comprendre facilement la notion de groupe quotient.
Inversement, j’ai mis longtemps à comprendre ce qu’est un espace vectoriel, parce que j’avais appris cette notion dans un livre qui, au lieu de présenter cette notion comme étant une généralisation de la géométrie, disait que c’était un groupe abélien (donc on avait l’impression que l’algèbre linéaire était une partie de la théorie des groupes) muni d’une loi externe vérifiant une liste d’axiomes qui étaient donnés sans motivation préalable.