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Vladimir Arnold Trivium - conclusion



Par MathOMan, lundi 3 janvier 2011 à 13:10 - Enseigner les maths - Tags - RSS

Avant les vacances d'été j'avais écrit un billet avec les exercices du Trivium mathématique de Vladimir Arnold. Grâce aux efforts estivaux de certains lecteurs, notamment de JLT, presque toute question a trouvé sa solution (sauf les 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74). Quelle conclusion peut-on tirer ?

D'abord ce trivium est loin d'être trivial. Il apprend de l'humilité à beaucoup parmi nous, enseignants souvent spécialisés dans certains domaines, et nous rappelle qu'on a la mémoire courte, c'est-à-dire qu'on a tendance à oublier des choses si on ne les utilise/enseigne plus. Deuxièmement, on apprend à apprécier l'outil Wikipédia pour chercher des définitions ou clarifications de certaines notions. Je crois que j'aurais fait mes études plus facilement si Wikipédia avait déjà existé ; mais il y a encore dix ans il fallait aller à la bibliothèque, passer beaucoup de temps à ne rien trouver ou encore trouver des articles et livres où la notion recherchée apparaissait englobée par 200 pages de définitions ou théorèmes...

Mais laissons le dernier mot à l'auteur du Trivium lui-même : en fait, Arnold a écrit un Mathematical Trivium bis dans lequel il résume certaines réactions à son premier Trivium. En plus il y a aussi son texte sur l'enseignement des mathématiques et la vidéo suivante sur les mathématiques expérimentales :



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Commentaires


1. Le mardi 4 janvier 2011 à 00:24, par 336414

Je partage avec vous l'idée qui consiste à formuler que les étudiants de nos jours sont beaucoup plus ressourcés que nous, il y a 30 ans!
Mais, je ne suis pas d'accord de citer Wikipedia comme référence, puisqu'étant une encyclopédie libre, elle regorge de grossières erreurs!!
...


2. Le mardi 4 janvier 2011 à 04:58, par Faré

Wikipédia est rarement le bon endroit où trouver le dernier mot sur un sujet, mais souvent un excellent endroit où trouver le premier!

Pour les maths, il y a aussi des ressources comme MathWorld ou PlanetMath.


3. Le mardi 4 janvier 2011 à 09:05, par MathOMan

Oui, Wikipedia n'est pas infaillible mais la qualité des articles augmente de plus en plus (et chacun parmi nous y apporte on grain). Et en consultant les articles en trois langues différentes (allemand, anglais et français) je ne reste presque jamais sur ma faim.


4. Le mardi 4 janvier 2011 à 13:05, par Fabien Besnard

C'est facile de dire que wikipedia regorge d'erreurs, c'est moins facile d'en trouver une ! Qu'on me donne un exemple d'erreur de mathématiques dans la version anglaise de wikipedia. Personnellement je n'en ai jamais vue qu'une seule, et je l'ai corrigée immédiatement (encore s'agissait-il d'une erreur mineure de terminologie), et je suis un grand utilisateur de cet outil.


5. Le mardi 4 janvier 2011 à 15:22, par Farid Mita

Moi aussi, je me refère le plus souvent à Wikipedia en premier lieu, juste pour me rafraîchir la mémoire. Ce qu'on pourrait reprocher à cette encyclopédie, c'est la rédaction collective qui n'est pas généralement cohérente. Depuis 2006, j'y ai contribué par correction, modification, reformulation, ajout, suppression, discussion, rédaction d'articles, ... Il m'est arrivé d'être bloqué par moment. Ce qui est frustrant lorsqu'on utilise sa vraie identité, et non un pseudonyme.
Cette fin d'année, j'étais confondu avec d'autres contributeurs qui ne plaisaient pas trop aux "anciens rédacteurs" d'un article! Injustement, j'ai écopé d'un mois de suspension! Et je risque d'aggraver ma situation si j'oserai me défendre!! Cependant, je suis bon joueur.
Je confirme la qualité de la version actuelle de Wikipedia, comme l'a dit notre ami MathOMan. Puisque maintenant, c'est devenu une affaire de spécialistes de rédiger, réviser, mettre en forme bénévolement, les articles de divers domaines. Mes encouragements vont à la sympathique équipe d'administrateurs "insomniaques", de divers grades, qui veillent à la bonne marche du projet.
;)


6. Le jeudi 13 janvier 2011 à 22:16, par MathOMan

Concernant la vidéo : je suis entièrement d'accord avec Arnold que la notion de déterminant doit être présentée comme une aire (ou volume), mais je ne suis pas d'accord avec ce qu'il dit sur l'introduction des variétés différentiables. Bien sûr, d'après de théorème de plongement de Whitney, à toute variété correspond exactement une classe d'isomorphie de sous-variétés de Rn, mais j'aurais du mal à concevoir de cette manière des variétés importantes comme l'espace projectif Pn ou encore la variété qu'est l'espace tangent TM à une sous-variété M ; les plonger dans un espace euclidien ne serait pas du tout naturel. De toute manière, l'étudiant qui a compris la notion de sous-variété, normalement enseignée avant les variétés abstraites, ne devrait pas rencontrer de difficultés quand on généralise aux variétés.

On peut aussi remarquer qu'Arnold aime provoquer et contredire. En fait, dans l'exemple du déterminant il préfère la présentation intrinsèque (sans coordonnées), tandis que dans l'exemple des variétés il dit de préférer le contraire, à savoir la présentation non-intrinsèque en coordonnées...


7. Le vendredi 14 janvier 2011 à 10:51, par JLT

Je crois que l'idée d'Arnold, c'est qu'il ne faut pas commencer un cours de géométrie différentielle en énonçant la liste des axiomes, mais qu'il faut d'abord manipuler beaucoup d'exemples de sous-variétés de R^n. Bref, pour l'enseignement il préconise la méthode inductive plutôt que la méthode déductive.

De manière analogue, pour enseigner les groupes, il faudrait d'après lui commencer par connaître des exemples concrets de groupes agissant sur des ensembles (tels que le groupe des isométries du cube), se familiariser avec eux, et ensuite seulement l'axiomatique des groupes (associativité, existence d'un élément neutre, etc.) devient facile à comprendre et à retenir.

Pour parler de mon cas personnel, quand j'étais en terminale, ma prof nous avait dit que si on considère l'ensemble des homothéties et des translations du plan, alors il est stable par composition, possède un élément neutre et chaque élément possède un inverse, etc. et a dit que c'est un groupe (rapidement, et sans développer le sujet). C'est ce qui m'a permis de comprendre rapidement la définition d'un groupe l'année suivante.

De même, le fait d'avoir fait un peu d'arithmétique et notamment de manipuler Z/nZ m'a permis de comprendre facilement la notion de groupe quotient.

Inversement, j'ai mis longtemps à comprendre ce qu'est un espace vectoriel, parce que j'avais appris cette notion dans un livre qui, au lieu de présenter cette notion comme étant une généralisation de la géométrie, disait que c'était un groupe abélien (donc on avait l'impression que l'algèbre linéaire était une partie de la théorie des groupes) muni d'une loi externe vérifiant une liste d'axiomes qui étaient donnés sans motivation préalable.


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Pourquoi ne pas lire aussi :


Exercice d'arithmétique

Par Mathoman, vendredi 10 septembre 2010 à 10:07 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol'd et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la plupart à JLT). Le voilà, dans un billet à lui tout seul !

Exercice de PB : calculer la signature de la (multiplication par 541 modulo 1223).

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La collection d'exercices de Vladimir Arnol'd

Par Mathoman, vendredi 25 juin 2010 à 10:24 - Maths pour matheux - Tags

En 1991 le mathématicien russe Vladimir Arnol'd publia un

Trivium mathématique (fichier pdf).

Il y vise ceux qu'il appelle les mathématiciens ignorants qui ont étudié les super-variétés ou les théorèmes de plongements mais ne savent pas résoudre des problèmes concrets et simples — ou, avec les mots de Pólya, ceux qui ressemblent à des singes qui sont toujours en haut d'un arbre :

A mathematician who can only generalise is like a monkey who can only climb up a tree, and a mathematician who can only specialise is like a monkey who can only climb down a tree. [...] A real mathematician must be able to generalise and specialise. — George Pólya

Selon Arnold le niveau de la culture mathématique baisse. Et il ne parle pas de la baisse du niveau du bac mais de celle du bac+5. (Or, comme le remarque Martin Andler ici, la question de la baisse de niveau est mal posée à cause de la massification de l'enseignement. Le nombre de mathématiciens en l'an 2000 est beaucoup plus grand que celui en 1900, en absolu et aussi en pourcentage de la population.)
Aux yeux d'Arnold je suis certainement un mathématicien très médiocre, voire ignorant ! De la même manière que je suis étonné quand un étudiant titulaire du bac S puisse avoir du mal à dériver sin(2x) ou à distinguer entre condition nécessaire et condition suffisante, Arnold serait choqué par le fait que je ne sais pas faire d'emblée sa liste de problèmes. En fait, si certains exercices de sa liste me sont très accessibles (par exemple les exercices 45 à 55), il y en a d'autres où je ne sais même pas par où commencer, comme par exemple le no. 72 (un problème de diffusion ?).

Pour Arnold cette collection ne contient pas de questions difficiles, mais seulement des questions qui forment le strict minimum essentiel — il serait alors intéressant de savoir combien un agrégé français moyen en résoudra en une semaine si on lui donne acces à wikipedia et à une bibliothèque de recherche. Quelle est votre estimation ? Plus ou moins que la moitié des problèmes ?

Si on regarde la liste des problèmes proposés on voit bien la préférence de l'auteur pour la géométrie et les équations différentielles. Il y a aussi un peu de topologie algébrique, mais on cherchera en vain des questions d'analyse ou algèbre pures, par exemple.

Vladimir Arnol'd est mort il y a trois semaines pas loin de chez moi, dans l'hôpital Saint-Antoine à Paris.

Mise-à-jour : JLT n'a pas chômé pendant le mois de juillet et a résolu la plupart des exercices !

Restent encore à faire: les no. 27, 41, 51, 58, 68, 69, 70, 73, 74.

Les solutions des exercices se trouvent dans les commentaires (pour déplier cliquer ci-dessous) mais ne sont pas dans l'ordre. Pour s'y retrouver utilisez la fonction find (Ctrl+F) de votre browser et recherchez le numéro de l'exercice par exemple sous la forme "no.54" ou "no.04".

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Approximation d'une intégrale

Par Mathoman, mercredi 16 juin 2010 à 19:39 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Un ami m'a envoyé une belle collection d'exercices dont je parlerai bientôt sur ce blog (c'est ici). L'une des questions est simplement :

Calculer la moyenne de sin100(x) avec une précision de 10%.

Je suppose qu'il faut comprendre calculer la moyenne sur un intervalle de période (par exemple entre 0 et pi).
Selon l'auteur de cette liste de problèmes, un étudiant qui ne sait pas faire cet exercice en cinq minutes n'aurait aucune maîtrise des mathématiques... Qu'en est-il de vous ? :-)

Et pour rallonger un peu ce billet, voici deux belles phrases.

Algebriquement parlant, Mr M. est execrable, mais Mr G. est (x+1)ecrable.
— Edgar Alan Poe
Même le nombre le plus fort a besoin des nuls : 100000000.
— Zarko Petan

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Maths tordues ou tortues ?

Par Mathoman, vendredi 17 octobre 2008 à 13:45 - Sujets hors sujet - Tags

Définition (selon Wikipédia) : Un Gömböc (mot hongrois) est un corps homogène tridimensionnel convexe comportant un unique point stable et un unique point instable d'équilibre. Posé n'importe comment, il revient toujours à la même position.

La question de trouver un tel corps fût posée par le mathématicien russe Vladimir Arnold et était résolue l'année dernière par deux mathématiciens hongrois. La vidéo suivante montre que certaines tortues ont une carapace qui ressemble à un Gömböc.

Et pour finir avec la même espèce animal voici un très beau dessin connexe (dessiné d'un seul trait) par un artiste de Vanuatu (république en Océanie), spécialisé en dessins de sable. Il part d'une simple grille de référence, donc avec un cahier d'école on devrait pouvoir y arriver... Tout le monde peut s'y entraîner durant des leçons ou séminaires ennuyeux (-;

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Preuve que SO(3) est l'espace projectif à 3 dimensions

Par Mathoman, lundi 15 septembre 2008 à 23:44 - Maths pour matheux - Tags

Ci-dessus la solution pour l'exercice sur le lien entre groupe de rotation et espace projectif.

Réponses aux questions


  1. \mathbb{B}^1 est l'intervalle fermé [-1,1] et son bord \mathbb{S}^0=\{-1,1\} est constitué des deux extrémités.\mathbb{B}^2 est un disque et son bord \mathbb{S}^1 est un cercle.\mathbb{B}^3 est une ``vraie'' boule et son bord \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère.
    \;

  2. Les deux applications suivantes sont bijectives car inverses l'une de l'autre.
    \;
    <br />\mathbb{B}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{S}^n_+\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_n<br />)\:\mapsto\:\big(x_1,\ldots,x_n,\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_n^2}\:\big)\,,

    \mathbb{S}^n\:\longrightarrow\:\mathbb{B}^n\;,\;\;\;(x_1,\ldots,x_{n+1})\:\mapsto\:(x_1,\ldots,x_n)\,.<br />

    Illustration: si on projette l'hémisphère nord sur l'hyper-plan équatorial, on obtient la boule d'unité dans cet hyper-plan.

    Projection de l'hémisphère

    Notons que dans le graphique l'axe des abscisses représente l'espace \mathbb{R}^{n}\:. Il est instructif de comprendre ce dessin déjà pour les plus basses dimensions:


    • Si n=1 alors on est dans le plan euclidien \mathbb{R}^2. Le demi-cercle supérieur \mathbb{S}^1_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le segment \mathbb{B}^1 (en bleu).
      \;

    • Si n=2 alors on est dans l'espace plan euclidien \mathbb{R}^3 et \mathbb{S}^2 est une ``vraie'' sphère dont le dessin montre une coupe. L'hémisphère nord \mathbb{S}^2_+ (en rouge) se projette bijectivement sur le disque \mathbb{B}^2 (en bleu).
      \;



  3. Chaque droite D\in\mathbb{P}^n coupe la sphère \mathbb{S}^n en deux antipodes: ~\frac{x}{||x||}~ et ~\frac{-x}{||x||}~ où x est arbitraire dans D\backslash\{0\}.
    Au moins un des deux points est dans l'hémisphère nord:

    La droite coupe la sphère en exactement deux points antipodes

    De cette observation on déduit que l'applicationf\;: \;\;\;\mathbb{S}^n_+\;\longrightarrow\;\mathbb{P}^n\:,\;\;\;x\;\mapsto~\mathbb{R}x\,,

    est surjective; en plus, elle est injective en dehors de l'équateur, et deux antipodes sur l'équateur sont envoyés sur une même image. Plus précisément

    \forall x,y\in\mathbb{S}^n_+\,:\;\big[\,x\neq y\,\text{ et }\,f(x)=f(y) \:\big]\;\Rightarrow \;<br />\big[\:x=-y\;\text{ et }\;x_{n+1}=y_{n+1}=0\:\big]\,.<br />

    Par conséquence \: \mathbb{P}^n\: est en bijection avec l'ensemble obtenu à partir de \: \mathbb{S}^n_+\: par identification des antipodes sur l'équateur. Or d'après la question précédente nous savons que \: \: \mathbb{S}^n_+ \:\simeq\: \mathbb{B}^n\: \: et l'équateur n'est rien d'autre que le bord \: \mathbb{S}^{n-1}\: de \: \mathbb{B}^n\: . Par conséquence \: \: \mathbb{P}^n \,\simeq\: \mathbb{B}^n/\!\sim\: .

    \,
  4. Le résultat précédent implique en particulier que \:\mathbb{P}^1 \,\simeq\, \mathbb{B}^1/\!\sim\:.
    Or \:\mathbb{B}^1=[-1,1] et par conséquence \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est simplement l'intervalle [-1,1] où on a recollé -1 et 1.
    Ainsi \:\mathbb{B}^1/\!\sim\: est en bijection avec le cercle \,\mathbb{S}^1\,. Nous obtenons \mathbb{P}^1 \,\simeq\,\mathbb{S}^1. Illustration:

    Recoller un segment en un cercle

    D'autre part SO(2) est le groupe des rotations du plan euclidien orienté \mathbb{R}^2. Comme chaque rotation est déterminée de manière unique par son angle compris dans [0,2\pi[ il est évident que SO(2) est en bijection avec le cercle \mathbb{S}^1.
    Conclusion: SO(2)\simeq \mathbb{P}^1.
    \,

  5. Pour la suite voir le fichier pdf.

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Calcul d'impôt et omissions dans la presse

Par Mathoman, lundi 23 avril 2012 à 12:03 - Grognements - Tags

Ca me met toujours en colère de lire des erreurs de chiffres dans la presse. Notamment quand c'est pendant un campagne électorale et que ça concerne l'argent des électeurs. Ainsi on peut lire sur le site du journal du Monde des affirmations complètement fausses concernant l'impôt sur le revenu:

Le souhait de François Hollande d’aligner fiscalités du patrimoine et du travail les a choqués, tout comme sa tranche d'imposition à 75%. « Agressif », selon eux. « Omar Sy, on lui enlève 75% de ce qu’il a gagné [...]»

Que la personne citée (qui de plus est expert-comptable) affirme volontairement de telles erreurs de calcul est son problème. Mais que la journaliste reprend ces mensonges sans les rectifier ou au moins les commenter en dit long sur le manque de ses connaissances en la matière (ou sur ses intentions).

Expliquons l'erreur. Les taux d'imposition communiqués sont toujours des taux marginaux. Mathématiquement parlant il s'agit d'une dérivée ; concrètement cela signifie que n'est imposable à ce taux que le montant qui dépasse la tranche précédente.

Exemple: Calcul explicite pour un revenu de 100 000 € en 2011:

Prenons l'exemple concret d'un contribuable qui en 2012 declare 100 000 € de revenu pour l'année 2011. Voici les tranches d'imposition selon les données officielles prises sur le site du ministère des finances.

jusqu’à 5 963 € :           0 %
de 5 963 € à 11 896 € :  5.5 %
de 11 896 € à 26 420 € :  14 %
de 26 420 € à 70 830 € :  30 %
plus de 70 830 € :           41 %

Les premiers 5 963 € ne sont pas imposables. Le montant dépassant 5 963 € et inférieur à 11 896 € est imposé au taux de 5.5 %. Cela fait

0.055 × (11 896 € - 5 963 €) = 326 €.

De même on trouve pour les impôts dans chacune des autres tranches:

0.14 × (26 420 € - 11 896 €) = 2 033 €
0.3 × (70 830 € - 26 420 €) = 13 323 €
0.41 × (100 000 € - 70 830 €) = 11 960 €

Au total ça fait donc un montant d'impôts de 27 642 €.

Conclusion : Un contribuable qui gagne 100 000 € en 2011 (et qui est donc dans une tranche d'imposition marginale de 41%) est redevable de seulement 27.6% de ses revenus (et non 41%).

Le même type de calcul s'applique évidemment à l'acteur Omar Sy mentionné par l'expert-comptable dans l'article lorsque ses revenus dépassent un million d'euros et s'il est imposé par un possible gouvernement de Hollande: le taux marginal sera de 75%, mais ce taux s'applique seulement au montant qui dépasse le million. Le million, quant à lui, est imposé, en sa plus grande partie, au taux de 41%.

Imaginez pour un instant que les taux seraient des taux réels et pas seulement des taux marginaux. Alors le citoyen qui a un revenu de 26 430 € garderait moins dans sa poche que celui dont le revenu est juste 10 € moins élevé, car par hasard il a la malchance de se trouver tout près d'une transition entre deux tranches. Ça serait complètement injuste !

Mathématiquement parlant, l'impôt doit être une fonction continue du revenu pour qu'il n'y ait pas de tels sauts. Avec des taux marginaux par tranches, on obtient une fonction croissante et affine par morceaux; et puisque le taux marginal augmente en fonction du revenu il s'agit d'une fonction convexe. Voici sa représentation graphique avec le revenu sur l'axe des x et l'impôt sur l'axe des y.

calcul impot revenu

J'espère que les journalistes améliorent leur niveau en mathématiques élémentaires; et que les lecteurs gardent un esprit critique et ne croient pas tous les calculs que les journalistes et politiciens proposent dans les journaux, à la télé et sur internet...

Personnellement je pense qu'il serait préférable de communiquer dans les média le taux d'imposition effectif sans détailler le taux marginal. Et pourquoi pas introduire une fonction qui n'est pas affine par morceaux mais lisse (différentiable)?

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