Question sur les groupes topologiques

Un groupe topologique est un ensemble G munie d’une structure de groupe et d’une topologie telles que la loi interne

et la formation d’inverse

sont des applications continues. En autres mots les deux structures, l’algébrique et la topologique, sont liées de manière naturelle par une condition de compatibilité. On peut alors se poser la question suivante :

Question

Existe-t-il deux groupes topologiques qui sont isomorphes comme groupes et homéomorphes comme espaces topologiques mais qui ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques ?

Voici la réponse avec l’exemple de JLT.

Réponse

Oui. Preuve en trois étapes :

1. Soient G et H des parties denses de \(\mathbb{R}\) et \(f :\: G \rightarrow H\) une bijection monotone. Alors f est un homéomorphisme.

   On peut supposer f croissante. Nous allons montrer sa continité. Soient \(x_0\in G\) et \(\epsilon>0\).
   Puisque H est dense dans \(\mathbb{R}\) on a \(H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset\). Donc il existe

   \(y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,.\)

   De même il existe \(y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,.\)
   A cause de la surjectivité de f on peut écrire \(y_k=f(x_k)\) avec \(x_k\in G, k=1,2\). On pose \(\delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0)\). Alors pour tout x dans G

   \(\begin{align*}x_0-\delta

   ce qui montre que f est continue en \(x_0\). La preuve de la continuité de la réciproque \(f^{-1}\) est la même.
    

2. Soient G et H des parties denses et dénombrables de \(\mathbb{R}\). Alors elles sont homéomorphes.

   D’abord nous écrivons

   \(\begin{align*} G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,.
   \end{align*}\)

   Maintenant nous allons énumérer G et H d’une autre manière, \(G=\{x’_0,x’_1,x’_2,\ldots\}\) et \(H=\{y’_0,y’_1,y’_2,\ldots\}.\) Le but est de faire de sorte que \(G \to H, x’_k \mapsto y’_k,\) est une bijection monotone (et donc automatiquement un homéomorphisme). On procède comme suit.
    

   • k=0. On prend \(x’_0=x_0,\;y’_0=y_0\)
     
      
   • k=1. On prend \(x’_1=x_1\). Pour le choix de \(y’_1\) regardons l’ordre de \(x’_0\) et de \(x_1’\).
     Si \(x’_1H inférieur à \(y’_0\).
     Si \(x’_1>x’_0\) alors on prend comme \(y’_1\) un élément de H supérieur à \(y’_0\).
     
      
   • k=2. On prend comme \(y’_2\) le premier élément de \(H\setminus\{y’_0,y’_1\}\) de la liste (**).
     Pour choisir \(x’_2\) regardons l’ordre de \(y’_0,y’_1,y’_2\).
     Si \(y’_2\) est inférieur à \(y’_0\) et \(y’_1\) on prend comme \(x’_2\) un élément de G inférieur à \(x’_0\) et \(x’_1\).
     Si \(y’_2\) est supérieur à \(y’_0\) et \(y’_1\) on prend comme \(x’_2\) un élément de G supérieur à \(x’_0\) et \(x’_1\).
     Si \(y’_2\) est entre \(y’_0\) et \(y’_1\) on prend comme \(x’_2\) un élément de G entre \(x’_0\) et \(x’_1\).
     
      
   • k=3. On prend comme \(x’_3\) le premier élément de \(G\setminus\{x’_0,x’_1,x’_2\}\) de la liste (*).
     Pour le choix de \(y’_3\) regardons l’ordre de \(x’_0,x’_1,x’_2,x’_3\). Il y a 24 possible manières de ranger ces quatre nombres.
     Si \(x’_3H inférieur à \(y’_0,y’_1,y’_2.\)
     Si \(x’_2H entre \(y’_2\) et \(y’_0\).
     Et ainsi de suite.
     
      
3. Les groupes topologiques \(G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2\) et \(H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3\) répondent au problème.

   D’après ce qu’on vient de voir, G et H sont homéomorphes comme espaces topologiques. Evidemment ils sont isomorphes comme groupes. Mais ils ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques. En effet, supposons qu’il existe un isomorphisme de groupes topologiques \(f :\, G \to H\). Par un récurrence facile f(n)=nf(1) pour tout entier n, et puis f(r)=rf(1) pour tout rationel r. Alors par continuité

   \(f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\lightning\)

   impossible dans \(H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3\).