Petite question sur les groupes
Voilà un beau petit problème de colle : quels sont les groupes possédant un automorphisme non-trivial ?
Il y a une solution élégante, pas très longue…
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Je connais 🙂
Proposition : soit G un groupe tel que Aut(G)={id}. Alors |G| vaut 1 ou 2.
Preuve :
– pour tout x dans G, l’application y–>x^{-1}yx est un automorphisme (dit intérieur). Mais id est le seul automorphisme, par hypothèse. On en déduit que G est commutatif.
– Puisque G est commutatif, on peut le noter additivement et il est naturellement muni d’une structure de Z-module (par nx=x+x+…+x si n est un entier naturel…). L’application x–>-x est un automorphisme de G. On en déduit que 2x=0 pour tout x, et donc G est naturellement un (Z/2Z)-module. Mais Z/2Z est un corps, donc G est libre : G est isomorphe à (Z/2Z)^(I) pour un certain ensemble I. Il est alors clair que G a plein d’automorphismes : par exemple toute permutation de I induit un automorphisme de G. Il faut donc que I ne possède que 0 ou 1 élément, d’où la conclusion.
En voici un autre, assez vicieux je trouve :
allken-bernard.org/pierre…
Belles preuves. Une notion aussi simple que celle de groupe donne toujours de nouvelles surprises 😉
Ne faut-il pas plutôt considérer les automorphismes \(\forall x, f_{x}: y \rightarrow x^{-1}yx\) pour montrer la commutativité ?
Tout à fait, je viens de corriger la petite faute de frappe dans la solution de PB qui m’avait aussi échappé. Merci pour le commentaire!