Compression et déformation d'un ballon

Par MathOMan, dimanche 11 juillet 2010 à 00:06 - Sujets hors sujet - Tags - RSS

Aujourd'hui c'est la finale de la coupe du monde de football et donc la dernière occasion pour vous poser la question suivante :

Lorsqu'un joueur reçoit un ballon et le joue avec sa tête, le ballon se déforme, il s'aplatit avant de rebondir. Donnez un ordre de grandeur de cette déformation (en cm) !

Voici les caractéristiques du ballon selon la FIFA : il est sphérique, en cuir ou dans une autre matière adéquate, a une circonférence de 70 cm au plus et de 68 cm au moins, a un poids de 450 g au plus et de 410 g au moins au début du match et a une pression se situant entre 1,6 et 2,1 atmosphère (1600 - 2100 g/cm²).

Donnez juste une estimation pour la compression du ballon... puis pour celle de la tête du jouer ;-)

Commentaires

1. Le dimanche 18 juillet 2010 à 17:54, par JLT

Je ne sais pas du tout comment donner une expression rigoureuse, mais je vais donner une estimation très grossière. On va supposer
m = 0,5 kg = masse du ballon
v = 10 m/s = vitesse du ballon
R = 0,1 m = rayon du ballon
$P_0 = 10^5$ pascals = pression atmosphérique
$P = 2 P_0$ = pression du ballon.

On calcule d'abord l'énergie nécessaire pour comprimer un volume de gaz. On suppose que le gaz est contenu dans un cylindre dont la base a une aire S, et dont on fait varier la hauteur h.

La force nécessaire pour comprimer le cylindre est $F=(P-P_0)S$ , donc $dE=-F.dh=-(P-P_0)dV$ . Si $P=2P_0$ , on a donc $dE=P_0|dV|$ .

D'autre part, on suppose que l'énergie cinétique $(1/2)mv^2$ du ballon est entièrement utilisée pour comprimer le gaz dans le ballon (on néglige les déperditions d'énergie ainsi que l'élasticité du cuir du ballon), ce qui donne $(1/2)mv^2\simeq P_0|\Delta V|$ .

On en déduit que la variation relative de volume vaut
$|\Delta V|/V \simeq \frac{mv^2}{2P_0V}\simeq\frac{0,5.10^2}{2.10^5.(4/3)\pi.10^{-3}}\simeq 1/16$ (on a approximé $\pi$ par 3).

Maintenant, la difficulté est que je ne sais pas de quelle façon le ballon se déforme. On peut s'en faire une idée en regardant une vidéo d'une balle rebondissant au ralenti. Pour simplifier, je vais considérer que si le ballon s'écrase de $l$ centimètres, alors la variation de volume calculée ci-dessus est égale au volume de la calotte sphérique $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\; x^2+y^2+z^2\le R^2,\; z\ge R-l\}$ .

Notons $a=l/R$ , supposé petit. On a donc
$\pi/12=(\frac{4}{3}\pi)/16=\pi\int_{1-a}^1(1-z^2)\,dz\simeq 2\pi\int_{1-a}^11-z\,dz=2\pi\int_0^a s\,ds=\pi a^2$ , donc $a\simeq 1/\sqrt{12}$ .

Finalement, $l\simeq 0,1/\sqrt{12}\simeq 0,1/(10/3)\simeq 0,03$ .

J'estime que le ballon se déforme d'environ 3 cm pour une vitesse de 10 m/s. Pour une vitesse différente, le calcul précédent montre que la déformation est approximativement proportionnelle à la vitesse du ballon.

Je ne sais pas si l'estimation précédente est réaliste car je n'ai pas de vidéo au ralenti d'un ballon de foot qui rebondit.

2. Le vendredi 10 septembre 2010 à 14:39, par MathOMan

Voici une photo de la coupe de monde 2010 illustrant que le calcul de JLT est assez réaliste ; lors d'un coup franc le ballon atteint souvent une vitesse de 30 m/s (= 108 km/h), c'est-à-dire le triple de celle supposée par JLT.

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Concevoir la notion d'application

Par Mathoman, mardi 6 janvier 2009 à 19:02 - Apprendre les maths - Tags

Je me rappelle qu'au début de mes études de mathématiques, parfois une simple question de formalisme pouvait me poser des problèmes. Par exemple, j'avais du mal à jongler entre différents points de vue d'une notion a priori simple comme celle d'application. Voici quelques lignes qui pourraient sembler bêtes aux initiés, mais comme les livres expliquent rarement ce genre de choses en détail elles peuvent être utiles à ceux qui y sont confrontés pour la première fois — et notamment aux élèves et étudiants d'aujourd'hui qui, lors de leur parcours scolaire, ne rencontrent plus assez de théorie des ensembles.

Considérons une application (synonyme de fonction) d'un ensemble X dans un ensemble Y.

$f\;:\; X \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; x \; \longrightarrow\;f(x)\,.$

(Désolé, la deuxième flèche devrait commencer par un pied mais mon plug-in LaTeX ne le permet pas.)

Si vous venez de passer le bac, vous avez déjà une notion intuitive de ce que c'est une application. Mais les mathématiciens possèdent plusieurs autres points de vue pour concevoir cet objet — et chacun a sa raison d'être.

Point de vue y en fonction de x.
C'est le point de vue habituellement enseigné au collège et au lycée. On conçoit x comme variable et y comme l'image qui change en fonction de x.
Le schéma mental est le suivant.
L'ensemble de départ X est représenté horizontalement, l'ensemble d'arrivée Y est représenté verticalement. La donnée de l'application f revient à la donnée de son graphe $\Gamma \subset X\times Y$ constitué des couples (x,f(x)), où x parcourt X.
En disant x parcourt X, on adopte donc bien l'idée que la variable est x.
Point de vue collection d'éléments de Y.
On peut aussi écrire l'application f en forme de famille $(f(x))_{x\in X}$ . On oublie donc de spécifier l'ensemble d'arrivée Y.
En général, une famille $(y_j)_{j\in J}$ dans Y n'est rien d'autre qu'une application

$y\;:\; J \;\longrightarrow \;Y\,,\;\; j \; \longrightarrow\;y_j\,,$

où l'ensemble de départ J est appellé l'ensemble d'indices ; très souvent il n'a pas d'importance et peut être remplacé par un autre ensemble de même cardinal. Ce qui compte dans ce point de vue c'est simplement la collection des images de l'application.
Dans certaines situations un bon choix de l'ensemble d'indices peut raccourcir les écritures. Par exemple, si $(b_j)_{j\in J}$ est une base d'un K-espace vectoriel E, alors tout vecteur v de E se décompose comme combinaison linéaire
$v=\sum_{j\in J} \lambda_j\, b_j\:,$
où $(\lambda_j)_{j\in J}$ est une famille de scalaires presque tous nuls (c'est-à-dire l'application $\lambda\;:\; J \;\longrightarrow \;K\,$ est nulle sauf en un nombre fini de points ; cela est nécessaire pour pouvoir prendre la somme). Mais si on conçoit la base non comme une famille de vecteurs mais comme un sous-ensemble B de l'espace E, alors on peut la prendre elle-même comme ensemble d'indices et écrire simplement
$v=\sum_{b\in B} \lambda_b\, b\:.$
Point de vue les fibres en fonction de y.
Pour chaque y dans Y on appelle fibre de f en y (ou ensemble de niveau y) l'ensemble de tous les antécédents de y, noté

$f_y\;=\;f^{-1}(\{y\:\})\:=\:\{\:x\in X\; :\; f(x)=y\:\} \,.$

Connaître une application revient à connaître la collection de ses fibres. C'est donc y qu'on considére comme variable. On s'aide du schéma mental suivant.

L'espace de départ est projeté sur l'espace d'arrivée. L'application est injective (resp. surjective resp. bijective) si et seulement si chaque fibre possède au plus (resp. au moins resp. précisément) un élément.

Une conséquence naturelle du point de vue des fibres est la factorisation canonique, que nous allons expliquer ci-dessus et dont la quintessence se résume ainsi :

L'ensemble des fibres non-vides d'une application est une partition de l'ensemble de départ et a le même cardinal que l'image de l'application.

Factorisation canonique

Nous nous proposons de montrer que toute application est la composée d'une surjection, d'une bijection et d'une injection. Soit donc f une application de X vers Y. On considère son image

$\tilde{Y} = f(X)\:\subset\:Y$

et l'espace des fibres

$\tilde{X} = \{\,f^{-1}(\{y\})\:|\: y\in \tilde{Y}\,\}\:\subset\:{\scr P}(X).$

Ainsi l'espace des fibres est le quotient de X par la relation d'équivalence ~ qui est définie par x ~ x' si et seulement si f(x) = f(x'). Il est clair que $\tilde{X}$ et $\tilde{Y}$ sont en bijection. Plus précisément il existe une surjection $\pi$ , une bijection $\tilde{f}$ et une injection $j$ tel que le diagramme suivant commute.

Factorisation canonique d'une fonction, comment comprendre les applications

En effet, il suffit de prendre pour $\pi$ la projection canonique sur le quotient X/~, c'est-à-dire l'application qui à chaque x dans X associe la fibre de f en f(x) ; puis pour j l'injection naturelle, et enfin pour $\tilde{f}$ l'application qui envoie une fibre sur l'unique élément dans Y qui est son image par f. Il est alors évident que f est la composée

$f= j\circ \tilde{f}\circ \pi$ .

Un avant-goût de la suite

Concevoir une application comme la collection de ses fibres est très fréquent en topologie, géométrie algébriques et théorie des singularités. On fait varier un point dans l'espace d'arrivée pour observer, dans l'espace de départ, la manière dont varie la fibre au-dessus de ce point. Un exemple très basique est l'application

$f\;:\; \mathbb{R}^3 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y,z) \; \longrightarrow\;ax+by+cz\,,$

où a,b,c sont des réels fixés non tous nuls. La collection des fibres est constituée de plans parallèles. Il s'agit donc d'un feuilletage de l'espace $\mathbb{R}^3$ par plans (comme un feuilleté). Les fibres se ressemblent toutes ; on a même ce qu'on appelle une fibration globalement triviale.

Plus généralement, si f est une fonction différentiable et si on fait varier le point dans l'espace d'arrivée sans toucher les valeurs critiques, alors localement les fibres se ressemblent toutes (fibration localement triviale). En revanche, si on passe par une valeur critique alors la nature des fibres peut changer. Par exemple si on traverse la valeur critique 0 de l'application

$g\;:\; \mathbb{R}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{R}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,$

dans le sens décroissant, alors la fibre est d'abord un cercle, puis dégénère en un point et, enfin, devient vide — une catastrophe a lieu au sens de la théorie des catastrophes de René Thom.

Tout ça devient plus intéressant dans le complexe. Les fibres de

$g\;:\; \mathbb{C}^2 \;\longrightarrow \;\mathbb{C}\,,\;\; (x,y) \; \longrightarrow\;x^2+y^2\,,$

sont des surfaces réelles (courbes complexes ou surfaces de Riemann). Et au lieu de traverser la valeur critique 0, on peut la contourner avec un petit lacet dans le plan complexe et observer la déformation de cette surface le long du lacet. Evidemment à la fin on retrouve la même surface qu'au début du lacet, mais lors du trajet certaines caractéristiques se sont déplacés continûment et ont échangés leurs places... (monodromie).

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Maths CM2

Par Mathoman, mercredi 21 janvier 2009 à 21:30 - Maths pour tous - Tags

Pourquoi le nombre $\pi$ de la formule $2\pi R$ pour la circonférénce d'un cercle intervient-il également dans la formule $\pi R^2$ pour calculer la surface d'un disque ?

Lisez ici la belle explication que Stéphane Lamy donne à sa fille en CM2.

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Facteurs multiplicateurs et énérgie des éoliennes

Par Mathoman, jeudi 10 décembre 2009 à 16:56 - Maths pour tous - Tags

Nous savons tous que l'aire d'un carré de côté L vaut L². Lorsqu'on double la longueur des côtés alors l'aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².

On montre de la même manière que si on double chaque côté d'un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés (sphères, cones,...). Les mathématiciens parlent alors d'homothétie, les physiciens de changement d'échelle.

On le voit bien sur les formules pour une sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d'un grand cercle) vaut $2\pi r$ , sa superficie $4 \pi r^2$ et son volume $4\pi r^3/3$ . Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à $r^3$ .

Question :
Aujourd'hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d'hier. Par quel facteur dois-je multiplier l'énérgie obtenue dans la journée d'hier pour calculer celle que j'obtiens aujourd'hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l'énergie du vent qui passe.)

La réponse n'est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.

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Ceci n'est pas pipé

Par Mathoman, lundi 5 avril 2010 à 19:31 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

En probabilités on dit qu'un dé est pipé si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. Dans le cas habituel, celui d'un dé non-pipé (ou dé parfait), la probabilité pour chaque face est 1/6 et on parle de variable aléatoire équirépartie.

Si on lance deux dés habituels et si on prend la somme des deux résultats on obtient un nombre entre 2 et 12. Ce qui étonne alors souvent le débutant c'est que la probabilité de cette somme n'est pas équirépartie ; par exemple, obtenir un 11 est moins probable qu'obtenir un 10. La raison pour cela est qu'on retrouve le 10 avec (4,6) ou (6,4) ou (5,5) tandis que pour le 11 on a seulement les deux possibilités (5,6) ou (6,5).

Question (existence d'un jeu de deux dés pipés) :

Peut-on piper un couple de dés de sorte que le jeu qui consiste à prendre la somme des deux dés lancés donne une loi aléatoire équirépartie ?

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Question de codimension en algèbre linéaire

Par Mathoman, lundi 11 mai 2009 à 21:59 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

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Le transport de meubles vu par les matheux

Par Mathoman, lundi 15 juin 2009 à 17:37 - Maths pour tous - Tags

Il est rare qu'une simple question de la vie quotidienne devient un problème de mathématiques quasiment insurmontable... mais ça peut arriver ! Il y a une quarantaine d'années le mathématicien autrichien Leo Moser se posait, probablement lors d'un déménagement entrepris tout seul, la question suivante :

Quelle est la taille maximale d'un canapé que je dois déménager horizontalement le long d'un couloir lorsque celui-ci présente un angle doit ?

Supposons que la largeur du couloir vaut 1. Comme un demi-disque de radius 1 passe clairement par l'angle, ~~la taille~~ l'aire maximale est minorée par $\pi/2\approx1,57$ . Mais évidemment on peut faire mieux. L'anglais John Michael Hammersley proposa la solution ci-dessous en forme de combiné téléphonique, sans pourtant prouver que c'est la solution maximale (et effectivement Gerver a trouvé plus tard un sofa encore plus grand). En outre il démontre que la taille maximale est majorée par $2\sqrt2\approx2,83\,.$

On a donc un majorant et un minorant, mais quelle est la valeur exacte de la taille maximale ? Actuellement c'est toujours un problème ouvert. Pour monter des fonds de recherche pour bien attaquer ce problème important de mathématiques très appliquées, peut-être faudrait-il organiser une conférence inter-disciplinaire entre mathématiciens et la branche de scientifiques la plus concernée : les psycho-analystes !

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Comment estimer une circonférence... et gagner un pari

Par Mathoman, lundi 18 mai 2009 à 09:29 - Maths pour tous - Tags

Dans ma cuisine je trouve ce récipient de sel cylindrique. Qu'est-ce qui est plus long, sa hauteur ou sa circonférence ?

combien est la circonference d'un cercle?

Comparons ! La hauteur est bien inférieure à l'écart que je peux faire entre mon pouce et mes doigts ; en revanche, je n'arrive pas à joindre mes doigts autour du périmètre. Donc, à ma grande surpise, la circonférence de ce cylindre est bien plus grande que sa hauteur.

Nous avons tous appris à l'école que pour calculer la circonférérence d'un cercle on multiplie son diamètre par ce fameux nombre $\pi$ qui vaut approximativement 22/7. Et comme 22/7 est bien plus grand que 3, la circonférérence est supérieure à trois fois le diamètre. Si l'on garde cela à l'esprit, alors notre mesure ci-dessus n'est plus si surprenante !

La plupart des personnes se trompent avec ce type d'estimation et diront que la hauteur est plus grande. Le soir au bar, vous pouvez parier une bière avec vos amis en posant la même question sur la hauteur et le périmètre d'un verre de bière. Puis vous utilisez par exemple une serviette pour comparer les deux longueurs comme ci-dessous. C'est sûr que vous allez gagner !


La hauteur est...	...inférieure à la circonférence.	Mathoman gagne une bière !

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Entraîner sa vue géométrique

Par Mathoman, dimanche 19 octobre 2008 à 19:30 - Maths pour tous - Tags

Matthias Wandel est le fils d'un éleveur de vaches allemand qui a émigré au Canada en 1980 avec sa famille. Il construit des choses fabuleuses en bois (notamment la calculatrice binaire en bois), mais il programme également des jeux en ligne, comme par exemple The Eyeballing Game.

On peut y entraîner sa vision approximative en géométrie plane. Les huit épreuves proposées sont les suivantes.

Ajuster un sommet pour obtenir un parallelogramme,
trouver le milieu entre deux points,
trouver la bissectrice d'un angle,
placer le centre d'un triangle (centre du cercle inscrit, l'intersection des bissectrices),
trouver le centre d'un cercle,
former un angle droit,
placer l'intersection de trois droites concourantes.

En principe, ce sont toutes des constructions géométriques qu'un élève de collège peut réaliser à la règle et au compas. Or ici il ne s'agit pas d'ancrer votre compas sur votre écran d'ordinateur LCD et y percer des trous, mais d'essaier de trouver à l'oeil nu le point demandé. Vous devez jouer trois tours pour obtenir un score final; vous allez voir que vous vous améliorez à chaque tour. Pensez à enfoncer la souris, puis à la relacher à l'endroit souhaité (vous ne pouvez plus corriger après).

Le score est mesuré en écarts (pixels) entre votre résultat et le vrai — donc plus bas mieux c'est. Mon score total des trois tours était de 5,05 (ma meilleure réponse était de 0,2). C'est un résultat très moyen... pas terrible pour un mathématicien! Ma seule excuse: je suis myope et astighmate ;-)

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Forum Emploi Mathématiques

Par Mathoman, lundi 23 janvier 2012 à 09:41 - Maths et société - Tags

Il y a un peu plus d'un an je parlais ici pourquoi après le bac j'ai choisi d'étudier les mathématiques. Et quelques lecteurs ont apporté leurs propres témoignages. Pour la plupart c'était un choix de passion, pas de raison. En fait, les études de math, en particulier les deux premières années, demandent un tel effort pour comprendre ce nouveau langage qu'il est difficilement imaginable que quelqu'un le fasse juste pour obtenir un diplôme. (Diplôme qui, en France, peine à être valorisé en dehors des institutions universitaires ou de recherche. Dans d'autres pays comme l'Allemagne c'est bien différent.) En plus, le métier d'un mathématicien peut être difficilement expliqué à des non-mathématiciens ce qui fait que pour un bachelier ça reste plutôt mystérieux...
Mais les temps évoluent, les mathématiques se diversifient et envahissent de plus en plus d'autres branches de sciences et technologies. Par conséquence le monde de l'industrie s'ouvre de plus en plus aux diplômés en mathématiques et c'est pour cette raison que la SMAI organise 1er Forum Emploi Mathématiques qui se tiendra jeudi 26 janvier 2012 à Paris. Conseil à tous les étudiants en maths: inscrivez-vous!

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La promenade

Par Mathoman, vendredi 23 avril 2010 à 18:28 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Trois femmes se promènent sur une allée de 100 m de long, d'un bout à l'autre. Lorsqu'une femme atteint la fin de l'allée elle fait demi-tour. Les vitesses respectives des trois femmes sont constantes et valent 1 km/h, 2 km/h et 3 km/h. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une durée au moins d'une minute durant lequel toutes les trois marchent dans la même direction.
(On peut supposer qu'il n'y pas d'hommes qui les dérangent.)

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