Inversibilité d’une matrice
Soit A la matrice carrée d’ordre 20 définie par les propriétés suivantes :
- le coefficient d’indice (j,k) vaut 0 si k=j,
- le coefficient d’indice (j,k) vaut 4 si k–j est pair et non-nul,
- le coefficient d’indice (j,k) vaut 5 si k–j est impair.
Montrer que la matrice A est inversible (sur le corps des rationnels).
Soit B=A+4I. On veut montrer que 4 n’est pas valeur propre de B. Or, B est le produit tensoriel de deux matrices C et D, où C a pour valeur propres 9 et -1, et D a pour valeurs propres 0 et 10, donc B a pour valeurs propres 0, -10 et 90.
Oui, on peut effectivement passer par le produit tensoriel ou le produit de Kronecker de deux matrices. J’avais plutôt pensé à une solution du style de mon commentaire du 31 janvier à l’exercice avec les vaches. C’est une application typiqe de passage au quotient, ça montre bien l’utilité d’un espace quotient : On considère la matrice A dans Z modulo 3 et on remarque qu’alors ses colonnes forment un système orthogonal, et le tour est joué.