La devinette des fourmis sur la tige
Il y a dix ans, pour sortir un peu des maths pûres, je travaillais pendant quelques semaines dans la forêt guyanaise sur le tournage d’un film documentaire scientifique sur les fourmis. Le monde des insectes sociaux (fourmis, abeilles, guêpes, termites) est fascinant, pas seulement du point de vue de la biologie, mais aussi du point de vue mathématique. A part les questions de génétique (forcément liées à la combinatoire et aux probabilités), il y a aussi beaucoup de théorie de jeux dans le comportment de ces "automates vivants", ainsi que de la théorie des graphes et même des algorithmes de fourmis.
A tous ceux qui veulent en savoir davantage je recommande vivement (comme cadeau de Noël?) le livre de vulgarisation scientifique Voyage chez fourmis de Bert Hölldobler et Edward O. Wilson ainsi que Le gène égoïste de Richard Dawkins.
Lors du tournage du film j’avais le temps d’observer un peu les fourmis et de calculer certaines distances qu’elles parcourent périodiquement. Voici un joli petit problème sur les fourmis.
Devinette
Une colonie de 101 fourmis se trouve sur une fine tige de longueur 100cm. Chaque fourmi se déplace à la vitesse de 1cm par seconde dans un sens fixe, mais si deux fourmis se rencontrent elles changent de sens. Lorsqu’une fourmi arrive à l’un des deux bouts de la tige elle tombe.
Est-ce que toute la colonie va disparaître de la tige? Si oui, après combien de temps?
Réponse
A vous de chercher! Je la divulguerai prochainement…
En attendant, je vous invite à regarder un petit film amusant en Super8 que j’ai réalisé après le dernier jour du tournage officiel et auquel les auteurs du film sur les fourmis ont gracieusement participé en tant qu’acteurs.
Mythique devinette !
Solution (codée par http://www.rot13.com/) :
Qbaabaf ha gézbva (pbzzr qnaf yrf erynvf) à pundhr sbhezv rg qrznaqbaf à pundhr sbhezv qr cnffre fba gézbva ybefdh’ryyr erapbager har nhger sbhezv. Ba pbafgngr nybef dhr yrf gézbvaf ar sbag wnznvf qrzv-gbhe : vyf ninaprag ra yvtar qebvgr, rg à yn ivgrffr q’har sbhezv. Qbap gbhf yrf gézbvaf ibag gbzore. Rg cyhf qr gézbva, cyhf qr sbhezv.
Oui, PB, c’est ça ! La solution est facile et courte mais il fallait y penser !
Bonjour
A quelles distance sont elles l’une de l’autre ?
vont elles toutes , au départ dans le même sens ?
j’imagine que ce sont surement les questions qu’ils ne fallait pas poser, mais bon …
peut on SVP avoir la réponse
Ah oui j’oubliais : combien mesure une fourmi ?
siouplai
Voilà, je réponds à votre question. Supposons qu’il s’agit de l’espèce de fourmi Atta, celle qui coupe et transporte des feuilles, et que, chaque fois que deux fourmis se rencontrent, elles échangent leurs feuilles. Ainsi les feuilles voyagent avec vitesse constante toujours dans le même sens ; on en déduit qu’après au plus 100 secondes toutes les feuilles (et donc toutes les fourmis) seront tombées de la tige.
On voit ainsi que la condition de l’énoncé deux fourmis se rencontrent elles changent de sens n’est destinée qu’à troubler le lecteur. En fait, une fourmi valant l’autre, on peut simplement supprimer cette condition !
Merci pour ce problème récréatif.
Voici un problème similaire:
Montrer que l’araignée A finira par capturer la mouche M (voir figure), en se déplaçant d’une case à l’autre, aléatoirement, même sans ses facultés naturelles ; la mouche M étant immobile dans sa case.
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