Un petit exo, un powerpoint et un porte-craie
Hier j’ai reçu deux choses amusantes (un exercice et un document powerpoint) que je vais partager avec vous ainsi qu’un outil pratique :
Exercice : Trouver toutes le fonctions injectives f de l’ensemble des nombres naturels dans lui-même telles que f(f(n)) est inférieur ou égal à (n+f(n))/2 pour tout naturel n.
Powerpoint : Le français est choisi comme langue européenne (document pps).
Bonne lecture, votre bloggeur Perna !
Outil pratique pour le prof : Pour nos cours nous, mathématiciens, préférons la craie au powerpoint, pour des raisons didactiques. Et nous préférons la craie aux feutres sur tableaux blancs, pour des raisons de développement durable. Mais le problème avec la craie c’est qu’après il faut se nettoyer les mains, comme le fait sur la photo ci-dessous mon ami J.P. Marco avant de recevoir les handshakes de certains auditeurs de son brillant exposé :
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CQFD — et Jean-Pierre Marco se frotte les mains
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Depuis hier j’utilise un porte-craie. Il évite de se salir les
mains et en plus, grâce à un mécanisme qui tient la craie, on peut
utiliser les bouts de craie jusqu’à leur fin ce qui fera, à long terme,
des économies de consommation de craie. On en trouve deux modèles, pour des craies de diamètre 12mm et pour des craies de diamètre 10mm.
Il me semble que seule l’identité convient. On prouve pas trop difficilement que f(0) = 0 car si on suppose que f(0) = a > 0 (çe qui amène que pour tout k f^k(a) < a), alors pour tout k f^k(a) vit dans [0,a-1], impossible.
Puis on démontre par récurrence que pour tout n, f(n) = n, en suivant le même genre de raisonnement par l’absurde.
«On en trouve deux modèles, pour des craies de diamètre 12mm et pour des craies de diamètre 12mm.»
Hum intéressante différence entre les deux modèles. Personnellement, je préfère le modèle pour les craies de 12mm plutôt que celui pour les craies de 12mm… 😛
Bon, après réflexion, démo foireuse, à oublier 🙂
@ Tchuvak & Ylrahc : ah, les tchèques visitent mon blog 😉 Merci, j’ai corrigé l’erreur des diamètres (10mm et 12mm).
Juste un (très) ancien élève de prépa qui aime les maths et mettre son pseudo à l’envers 🙂
En fait la démo a l’air de marcher très bien : étape a de la récurrence :
on a f(a) > a – 1 par injection. si f(a) = b > a, alors f^k(b) < b pour tout k > 0 (petite récurrence), donc il existe k1, k2 > k1 tels que f^k1(b) = f^k2(b), donc f^(k2-k1)(b) = b (par injection), contradiction.
Bravo, ça marche ! Ca fait plaisir de savoir que d’anciens taupins font encore les maths 😉