Lorsqu'on enseigne un sujet élémentaire en mathématiques pendant plusieures annnées on pense souvent d'avoir fait le tour des théorèmes et preuves fondamentaux. C'est normal car on a lu des livres sur ce sujet, regardé les articles Wikipédia, étudié les polycopiés mis à disposition sur internet par d'autres enseignants et discuté avec des collègues sur certains astuces, etc. Il est donc rare de pouvoir être surpris par du neuf. Mais c'est exactement ce qui m'est arrivé recemment quand j'ai lu, dans un ouvrage de vulgarisation de surcroît, la réponse à la question suivante que je m'étais déjà posée maintes fois:

Question: Soient R et S deux rotations vectorielles dans l'espace, données par leurs axes orientés et leurs angles. Comment peut-on déterminer géométriquement, par une simple dessin, l'axe et l'angle de la composée SoR?

(Rappel : Rotations vectorielles signifie que les deux rotations laissent invariant un point commun, l'origine.)

Je ne donne pas toute de suite la réponse car j'aimerais savoir d'abord si certains de mes lecteurs la connaissent. Peut-être êtes-vous nombreux à la connaître ! Et donc il se trouvera que je suis tellement inculte en géométrie euclidienne élémentaire que j'ai dû attendre l'été 2014 pour enfin apprendre la réponse à cette question... En tout cas, j'ai vu cette vieille méthode géométrique qui date du 19e pour la première fois il y a quelques semaines. Et j'ai l'impression qu'elle n'est plus enseignée aujourd'hui où on a tendance à tout réduire au calcul matriciel.

Quand je dis par un simple dessin je pense à une construction géométrique qui doit être aussi simple que les deux énoncés suivants concernant la composition de deux autres types d'isométries:

  • Si une translation envoie le point A sur B et une autre translation B sur C alors leur composée est l'unique translation qui envoie A sur C. (Ca se traduit par le dessin d'un simple triangle à trois vecteurs.)
  • La composée de deux réflexions par rapport à des plans sécants en une droite D est la rotation d'axe D, l'angle de rotation étant le double de l'angle entre les deux plans et l'orientation étant à déterminer sur le dessin. (Ce dessin se trouve dans tous les bons polycopiés sur le sujet.)

Le dessin et la preuve dont je parle sont des honnêtes dessins réels (sans quaternions et compagnie), compréhensibles avec un bac S.

Comme exemple on pourra calculer, dans l'espace canonique R³, l'axe et l'angle de SoRR est la rotation d'axe orienté (0,0,1), d'angle 2π/3 et S la rotation d'axe orienté (31/2,-1,0), d'angle π/2.