Un petit exercice concernant l'exponentielle matricielle, posé sur le blog de Pierre Lecomte, donne l'occasion de vous proposer l'exercice suivant.

Soit A une matrice réelle inversible de taille n. On pose

\sqrt{A}=\{ B\in M_n(\mathbb{R})\;\mid\; B^2=A\} et

\log(A)=\{ B\in M_n(\mathbb{R})\;\mid\; \exp(B)=A\}.

Montrer que l'ensemble \sqrt{A} est vide si et seulement si \log(A) l'est.