Voici un joli exercice pour un cours d'analyse complexe. Soient f et g des fonctions holomorphes et non-linéaires définies dans un voisinage de 0 et telles que f(0) et g(0) sont nuls et telles que f'(0) et g'(0) sont non-nuls. Quelle est la limite en 0 de la fonction

\frac{f\circ g-g\circ f}{(g\circ f)^{-1}-(f\circ g)^{-1}}\ ?

Cet exercice n'est pas très difficile, mais ne se fait pas en deux ou trois lignes non plus. On pourra ensuite l'utiliser pour calculer la limite

\lim_{x\to0}\ \dfrac{\sin(\tan(x))-\tan(\sin(x))}{\arcsin(\arctan(x))-\arctan(\arcsin(x))}

qui est celle du second problème du Trivium d'Arnold.

C'était par hasard que je suis tombé sur cette question, en préparant un contrôle où les étudiants doivent se servir du logiciel de calcul formel Maxima. Je me suis aperçu que dans certains cas le logiciel donne des résultats contradictoires et donc je me suis décidé de faire le calcul à la main, pas seulement dans l'exemple des fonctions sinus et tangente mais dans le cadre plus général de la question que je vous propose.

Pour ceux qui utilisent Maxima, voici le petit programme où le logiciel fait des erreurs (au moins avec ma version wxMaxima 14.09.0):

v(x):=(sin(tan(x))-tan(sin(x)))/(asin(atan(x))-atan(asin(x)));
taylor(v(x),x,0,4);
V(x):=integrate(v(t),t,0,x);
taylor(V(x),x,0,5);

Maxima donne comme série de Taylor de la fonction v

v(x)=1+\frac53x^2+\frac{1313}{1890}x^4+O(x^6).

C'est correct, mais pour la primitive V il fournit le résultat suivant qui est évidemment faux:

V(x)=x+\frac{35}9x^3+\frac{40703}{9450}x^5+O(x^7).

Comme quoi il faut pas seulement se méfier des résultats numériques d'une calculatrice (voir par exemple ici) mais aussi des logiciels formels.