Aujourd'hui c'est la finale de la coupe du monde de football et donc la dernière occasion pour vous poser la question suivante :

Lorsqu'un joueur reçoit un ballon et le joue avec sa tête, le ballon se déforme, il s'aplatit avant de rebondir. Donnez un ordre de grandeur de cette déformation (en cm) !

Voici les caractéristiques du ballon selon la FIFA : il est sphérique, en cuir ou dans une autre matière adéquate, a une circonférence de 70 cm au plus et de 68 cm au moins, a un poids de 450 g au plus et de 410 g au moins au début du match et a une pression se situant entre 1,6 et 2,1 atmosphère (1600 - 2100 g/cm²).

Donnez juste une estimation pour la compression du ballon... puis pour celle de la tête du jouer ;-)

En 1991 le mathématicien russe Vladimir Arnol'd publia un

Il y vise ceux qu'il appelle les mathématiciens ignorants qui ont étudié les super-variétés ou les théorèmes de plongements mais ne savent pas résoudre des problèmes concrets et simples — ou, avec les mots de Pólya, ceux qui ressemblent à des singes qui sont toujours en haut d'un arbre :

A mathematician who can only generalise is like a monkey who can only climb up a tree, and a mathematician who can only specialise is like a monkey who can only climb down a tree. [...] A real mathematician must be able to generalise and specialise. — George Pólya

Selon Arnold le niveau de la culture mathématique baisse. Et il ne parle pas de la baisse du niveau du bac mais de celle du bac+5. (Or, comme le remarque Martin Andler ici, la question de la baisse de niveau est mal posée à cause de la massification de l'enseignement. Le nombre de mathématiciens en l'an 2000 est beaucoup plus grand que celui en 1900, en absolu et aussi en pourcentage de la population.)
Aux yeux d'Arnold je suis certainement un mathématicien très médiocre, voire ignorant ! De la même manière que je suis étonné quand un étudiant titulaire du bac S puisse avoir du mal à dériver sin(2x) ou à distinguer entre condition nécessaire et condition suffisante, Arnold serait choqué par le fait que je ne sais pas faire d'emblée sa liste de problèmes. En fait, si certains exercices de sa liste me sont très accessibles (par exemple les exercices 45 à 55), il y en a d'autres où je ne sais même pas par où commencer, comme par exemple le no. 72 (un problème de diffusion ?).

Pour Arnold cette collection ne contient pas de questions difficiles, mais seulement des questions qui forment le strict minimum essentiel — il serait alors intéressant de savoir combien un agrégé français moyen en résoudra en une semaine si on lui donne acces à wikipedia et à une bibliothèque de recherche. Quelle est votre estimation ? Plus ou moins que la moitié des problèmes ?

Si on regarde la liste des problèmes proposés on voit bien la préférence de l'auteur pour la géométrie et les équations différentielles. Il y a aussi un peu de topologie algébrique, mais on cherchera en vain des questions d'analyse ou algèbre pures, par exemple.

Je n'ai pas le fichier tex de ce document pdf. Voici quelques erreurs de frappe que j'ai découvertes :

• La date en 2002 donne seulement le jour de compliation de ce fichier français. En fait, Arnol'd a déjà publié sa liste en russe dans l'année 1991 (voir cet entretien).
• Ex.14 — Il manque le dx.
• Ex.39 — ... d’un vecteur...
• Ex.37 — ... courbure...
• Ex.48 — Je crois que ça devrait être z¹⁰.
• Ex.52 — ... forme différentielle...
• Ex.65 — un u superflu ?
• Ex.74 — Le signe de division devrait être la divergence d'un champ de vecteurs.
• Ex.78 — Un à la place de infty.

Remarque : Arnol'd est mort il y a trois semaines pas loin de chez moi, à l'hôpital Saint-Antoine.

Un ami m'a envoyé une belle collection d'exercices dont je parlerai bientôt sur ce blog. L'une des questions est simplement :

Calculer la moyenne de sin¹⁰⁰(x) avec une précision de 10%.

Je suppose qu'il faut comprendre calculer la moyenne sur un intervalle de période (par exemple entre 0 et pi).
Selon l'auteur de cette liste de problèmes, un étudiant qui ne sait pas faire cet exercice en cinq minutes n'aurait aucune maîtrise des mathématiques... Qu'en est-il de vous ? :-)

Et pour rallonger un peu ce billet, voici deux belles phrases.

Algebriquement parlant, Mr M. est execrable, mais Mr G. est (x+1)ecrable.
— Edgar Alan Poe

Même le nombre le plus fort a besoin des nuls : 100000000.
— Zarko Petan

Malheureusement je dois quitter mon poste de vacataire à l'Ecole Supérieure des Techniques Aéronautiques et de Construction Automobile (www.estaca.fr) à Levallois-Perret, donc cet établissment cherche un nouveau vacataire pour les TD en mathématiques : il s'agit de 144h (ou 288h) réparties entre septembre 2010 et mai 2011 sur 24 (ou 48) jours à 6h. Le programme est celui de PCSI en première année et de PC en seconde année. Les candidats peuvent contacter :
Odile TISSIER, Responsable Pédagogique en charge des Enseignements
Tel. 01 41 27 37 25, Odile.TISSIER(at)estaca.fr

Dans mon dernier billet sur l'enseignement des mathématiques je parlais du système américain et allemand des devoirs maison hébdomadaires. Je me félicite du succès de ce billet : en effet, les responsables de l'enseignement des maths en cycle préparatoire à l'école d'ingénieurs Estaca l'ont lu et ont décidé la mise en place de ce système à partir de la rentrée prochaine.

Aujourd'hui j'aimerais parler d'une autre idée pour rendre plus efficace le contrôle des acquis des étudiants : les questionnaires à choix multiples. Traditionnellement nous, les matheux, nous n'aimons pas les QCM. Nous considérons les mathématiques comme une sorte d'art où le chemin du raisonnement choisi et la grâce avec laquelle on danse sur ce chemin, c'est-à-dire le style de rédaction, sont aussi importants que le résultat à trouver. Et cela ne peut pas être évalué par un QCM. — C'est vrai. Or quand nous corrigeons les partiels en premier cycle nous faisons souvent l'expérience que très peu d'étudiants savent rédiger correctement une suite d'idées. Et la remarque suivante montre que ce phénomène perdure même dans les semestres supérieurs : L’utilisation des hypothèses données dans l’énoncé doit être signalée au moment opportun et non en vrac en début de question, afin de montrer l’articulation du raisonnement (extrait du rapport du jury de l'agrégation 2009).
Il y a donc un décalage entre nos attentes et les résultats. Et ce n'est pas étonnant car le système des TD actuel n'apprend une rédaction cohérente. Comme le professeur de TD ne peut pas contrôler l'écrit de chacun, les étudiants ne font que recopier une rédaction exemplaire au tableau — ce qui est déjà une bonne chose mais ne suffit point, ça serait comme si on voulait apprendre à jouer le violon en écoutant Gidon Kremer. On revient donc au problème déjà cité de l'efficacité des TD...

Alors à quoi bon d'évaluer les étudiants par des choses sur lesquelles ils n'ont pas eu l'occasion de s'entraîner ? J'ai donc décidé, pour ma part, de faire désormais l'évaluation en forme de QCM (dans les établissements qui n'ont pas mis en place un système de correction de devoirs maison). Mon premier tel examen 100% QCM peut être consulté ici.

Quelles sont les compétences mathématiques qu'on peut évaluer par un QCM ? A mon avis, un bon pourcentage des méthodes au programme d'un premier cycle en école d'ingénieur ou en tronc commun de L1 : dériver, intégrer, systèmes linéaires, équations différentielles linéaires, etc. D'après ce que j'ai vu c'est déjà suffisant pour trier les bons et les mauvais étudiants ;-)

Recherche de collaborateurs

Maintenant je viens avec une proposition concrète : qui a envie de participer à établir une base d'exercices en ligne en forme de QCM ? Qui est-ce qui a déjà de l'expérience en ce domaine (peut-être avec WIMS) et souhaite la partager ? L'idée serait la suivante.

• Une grande base de questions serait disponibles en ligne pour que les étudiants puissent s'entraîner chez eux.
• Une autre partie de questions serait reservée aux épreuves que les étudiants passent dans les salles d'ordinateur le jour de l'examen.
• Les résultats étant calculés automatiquement il n'y aura plus de travail de correction ni erreur d'évaluation possible.
• Une fois la base d'exercices créée et assez grande, on peut la rentabiliser et organiser des évaluations très fréquentes...
• Les exercices ne devraient pas forcément être interactives, originales ou d'une grande valeur pédagogique en e-learning (comme souvent dans WIMS), car ils serviraient uniquement à évaluer, l'enseignement en TD restant inchangé.

Deux exos sympas sur les matrices.

Exercice 1. Soient , k=1,...,n des matrices carrées complexes de même taille, toutes non-nulles. Existe-t-il toujours une matrice carrée A telle que

Exercice 2. On note T la transposition des matrices. Soient A,B,C,D, des matrices carrées telles que T(A)=BCD, T(B)=CDA, T(C)=DAB et T(D)=ABC. Démontrer que

Pour finir la semaine avec un peu d'humour voici quelques jeux de mots.

   Tout ce qui est hideux est négatif.

   Et le désir s'accroît quand l'effet se recule.

    En effet, si on fait fi de x, on n’en fait pas grand cas...

Voici un drôle de sketch extrait d'une série norvégienne d'il y a quelques années. Il s'agit d'une sorte de Tech Support médieval, juste au moment de l'apparition d'un tout nouveau moyen de stockage d'information : le livre.

La remarque que fait le moine à son consultant IT du helpdesk est d'ailleurs très typique pour de telles périodes de transition : le système précédent, les rouleaux, seraient plus pratiques que les livres, ils n'y avait pas toutes ces pages à tourner...

A chaque nombre naturel avec n² chiffres on peut associer le déterminant de la matrice nxn où on écrit ces chiffres ligne par ligne. Par exemple, si n=2 nous associons au nombre 2011 le déterminant

Exercice : Trouver, en fonction de n, la somme de tous les déterminants associés aux nombres entiers positifs à n² chiffres. (Le premier chiffre est supposé non-nul — par exemple pour n=2 il y a 9000 déterminants qui interviennent.)

Le mathématicien Pierre Colmez, algébriste français éminent, a publié sur son site web une lettre ouverte adressée au directeur général de l’Ecole Polytechnique à Palaiseau. Il y explique ses raisons de ne plus prolonger son contrat d'enseignant dans cette institution prestigieuse. La première raison nomée est celle d'argent. Mr Colmez s'indigne que des collègues en mathématiques financières ou en économie sont embauchés au double respectivement triple de son salaire. La réponse qu'on lui donne ne m'étonne pas : C’est le prix du marché ; les mathématiciens n’ont qu’à organiser la pénurie s’ils veulent que l’on augmente leurs salaires.

Je ne savais pas que le salaire des enseignants à l'X est soumis au prix du marché. J'ai plusieurs amis d'études qui se sont convertis aux mathématiques financières, certains sont professeurs dans des universités en Allemagne, d'autres travaillent pour des banques. Mais ceux qui sont professeurs ne touchent pas plus que leurs collègues professeurs d'archéologie par exemple ; en revanche, ils arrondissent (avec des gros ronds !) leurs fins de mois avec des expertises et conseils pour toutes sortes d'institutions du monde financier... Leur poste de prof n'est donc pas leur principale source de revenu. Probablement la différence de salaire à l'X ne représente qu'un sur le revenu total d'un professeur en mathématiques financières, mais il est clair que pour Pierre Colmez c'est un grand ...

Dans le futur, est-ce les universités françaises vont-elles faire comme dans le privé, c'est-à-dire rémunérer leurs enseignants en fonction de l'offre et de la demande ? Comment négocier alors ce salaire ? Que feront alors les professeurs enseignant des matières sans "applications directes" comme par exemple la musicologie ?

L'artiste suisse Felice Varini expose actuellement à la Galérie Xippas à Paris. Il aime jouer avec des illusions optiques dans l'espace, des sortes de trompe l'œil. Plus précisément, en termes mathématiques, il profite du fait que la projection de l'espace à trois dimensions sur un plan (espace à deux dimensions) n'est ni injective ni isométrique.

Par exemple une ellipse peut se transformer en cercle par cette projection. Les installations de Varini l'illustrent, il suffit de changer de perspective (ou comme dit Varini, se mettre hors point de vue). Les photos suivantes sont extraites du site web de l'artiste.

Felice Varini : Quatre cercles dansants

Hors point de vue

Et comme les cercles ne sont pas posés sur un support plane, il arrive bien souvent qu'ils consistent de plusieurs parties non-connexes. Dans l'exemple ci-dessus les dessins des cercles rentrent même à l'intérieur de la salle de séjour (sur la première photo la porte est ouverte). On constate également que l'épaisseur du trait doit varier en fonction de l'emplacement.
L'été dernier Varini a même encerclé tout un village dans les Alpes Suisses !

Felice Varini : Cercle et suite d'éclats (Vercorin, Suisse, été 2009)

Hors point de vue

Et pour finir, voici une autre illusion d'optique, cette fois fabriquée par un mathématicien, le japonais Kokichi Sugihara, de l’Institut pour les sciences mathématiques de Kawasaki. Quatre boules sous le seul effet de la gravation...

J'ai acheté le numéro 391 du magazine Pour la Science (mai 2010) car il y a un article sur l'harmonie musicale. Je suis plutôt déçu de cet article (j'écrirai une autre fois pourquoi), et finalement c'est un autre, même pas mentionné sur la couverture, que je trouve beaucoup plus intéressant : Les parasites manipulateurs de F. Thomas et F. Libersat. Par exemple, un certain ver parasite influence le comportement de son hôte, une petite crevette, par des sécrétions chimiques de sorte que la crevette nage en surface au lieu de se cacher sous l'eau ; la crevette devient ainsi plus facilement proie des oiseux et ça convient au ver qui peut alors poursuivre son cycle de vie dans ce nouvel hôte plus grand.
Je vous recommande la lecture de cet article, il y a plein d'autres exemples surprenants.

A ce sujet un petit exercice de prédateur-proie (la similitude s'arrête là car il n'a rien à faire avec des questions de comportements ou de manipulation).

Casse-tête : Une mouche et deux araignées se déplacent sur les arêtes d'une cube. Toutes les trois se voient et ont la même vitesse constante. Prouver que les araignées finiront par attraper la mouche.

Dans la solution que j'ai trouvée je suppose que le temps de réaction de chaque animal est nul et qu'à tout moment l'animal peut changer de direction de mouvement. J'ignore si l'énoncé reste vrai sans ces hypothèses.

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :

a(1+ky)x² + by² = 1

Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

• D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
   
• Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
   
• D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci

  ax²/(1+ky)+ by² = 1.

  Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
   
• Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
   
  
• Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

Actuellement je traverse la Corse à vélo, et aujourd'hui lors d'une montée raide je pensais à un problème de souplesse. Comme nous le savons les fonctions infiniment dérivables sont beaucoup plus souples que les fonctions analytiques. Par exemple on peut se poser la question suivante sur la donnée des dérivées successives en un point :

Existe-t-il une fonction f de classe telle que pour tout naturel n,

Trois femmes se promènent sur une allée de 100 m de long, d'un bout à l'autre. Lorsqu'une femme atteint la fin de l'allée elle fait demi-tour. Les vitesses respectives des trois femmes sont constantes et valent 1 km/h, 2 km/h et 3 km/h. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une durée au moins d'une minute durant lequel toutes les trois marchent dans la même direction.
(On peut supposer qu'il n'y pas d'hommes qui les dérangent.)

En probabilités on dit qu'un dé est pipé si les chances de ses six faces ne sont pas les mêmes. Dans le cas habituel, celui d'un dé non-pipé (ou dé parfait), la probabilité pour chaque face est 1/6 et on parle de variable aléatoire équirépartie.

Si on lance deux dés habituels et si on prend la somme des deux résultats on obtient un nombre entre 2 et 12. Ce qui étonne alors souvent le débutant c'est que la probabilité de cette somme n'est pas équirépartie ; par exemple, obtenir un 11 est moins probable qu'obtenir un 10. La raison pour cela est qu'on retrouve le 10 avec (4,6) ou (6,4) ou (5,5) tandis que pour le 11 on a seulement les deux possibilités (5,6) ou (6,5).

Question (existence d'un jeu de deux dés pipés) :

Peut-on piper un couple de dés de sorte que le jeu qui consiste à prendre la somme des deux dés lancés donne une loi aléatoire équirépartie ?