Sur la bonne notation des parenthèses dans les expressions

Dans les calculs il y a des règles de priorités sur lesquelles tout le monde s’entend et qui simplifient les notations. Par exemple, les multiplications sont prioritaires aux additions:

\[ a+bc = a+(bc), \qquad a+bc \neq (a+b)c.\]

Et les puissances sont prioritaires aux multiplications:

\[ ab^c = a(b^c), \qquad ab^c \neq (ab)^c.\]

Les calculatrices et logiciels respectent bien ces priorités. Je ne peux pas dire combien de fois j’ai rencontré la confusion chez les étudiants quand ils doivent calculer 6^1/3, c’est-à-dire la racine cubique du nombre 6:

Évidemment il fallait faire 6^(1/3) ce qui donne environ 1.817. Alors certains étudiants, effrayés d’oublier des parenthèses, en mettent partout: (6)^(1/3). Mon rôle d’enseignant est de leur expliquer les priorités. Ensuite je leur conseille d’utiliser juste les parenthèses nécessaires et ne pas en ajouter des superflues. En particulier j’explique la règle de priorité des fonctions devant les puissances:

\[ f(x)^2 = (f(x))^2, \qquad f(x)^2 \neq f(x^2).\]

C’est là que le bât blesse! Malheureusement certains collègues, même s’ils sont d’accord avec cette priorité, l’oublient quand ils l’appliquent à des fonction comme sin, cos ou log. Quand f=sin ils écrivent soudainement
\[ f(x)^2 = \sin^2x.\]
Mais la logique veut qu’on écrive
\[f(x)^2=\sin(x)^2.\]
C’est une vielle mais mauvaise tradition de noter sin x sans les parenthèses, car cela revient à écrire f x au lieu de f(x). Voici des exemples de la notation à bannir, puis de la notation qui respecte les règles de priorités:

Obsolète et incohérent: \(\qquad\log x, \qquad\cos2x, \quad\arcsin x^{-1}, \quad\sin^2(x), \quad(\ln x)^3.\)

Moderne et cohérent: \(\qquad\log(x), \qquad\cos(2x), \quad\arcsin(x^{-1}), \quad\sin(x)^2, \quad\ln(x)^3.\)

Heureusement de plus en plus de nouveaux livres utilisent la notation moderne. Son avantage est d’être sans ambiguïté et de correspondre exactement aux usages des logiciels et calculettes. Un logiciel comprend bien les expressions cos(pi/5) et cos(pi)/5 et sait les distinguer ; mais il donne un signal d’erreur si on entre cos pi/5.
Quant à moi, j’emploie la bonne notation depuis une dizaine d’années et je ne peux que la conseiller à tous. Sur mes anciens feuilles d’exercices je trouve encore des (ln x)², mais aujourd’hui je suis très content d’avoir harmonisé mes notations et je n’ai aucun problème avec des identités comme celles-ci:

\[ \ln\left(\left(x^{\frac12}\right)^2\right)=\ln(x) , \qquad\ln\left(x^{\frac12}\right)^2=\frac14\ln(x)^2.\]

D’ailleurs je pense qu’il y a justement une valeur pédagogique dans l’enseignement d’un formalisme cohérent avec des priorités clairement établies! Je me rends compte que le formalisme est l’un des points noirs de nos étudiants en premier semestre. C’est pourquoi j’essaie d’être logique et le plus précis possible, en mettant juste les parenthèses qu’il faut, pas plus, pas moins.

Un mot final sur la composée de fonctions et sur l’utilisation de la barre de fraction diagonale (slash). La fonction f² désigne-t-elle le produit f×f ou la composée fof ? Il restera toujours une ambiguïté et il faudra spécifier chaque fois le sens dans le contexte. Mais au moment qu’on écrit la variable, c’est encore la notation moderne qui emporte le combat de compatibilité avec les logiciels:

Obsolète: \(\qquad\sin^2x\stackrel{?}{=}\sin(\sin(x)), \quad\sin^2x\stackrel{?}{=}\sin(x)\times\sin(x),
\quad\sin^{-1}x=\,?\)

Moderne: \(\qquad\sin(x)^2=\sin(x)\times\sin(x), \quad\sin(x)^{-1}=\dfrac1{\sin(x)}, \quad\sin^{-1}(x)=\arcsin(x).\)

Concernant la barre de fractions diagonale on l’utilise parfois parce qu’elle occupe moins d’espace vertical dans le texte. Lorsqu’il y a une division suivie d’une multiplication les logiciels executent ces opérations dans l’ordre d’arrivée:

\[1/2\pi=\frac\pi2, \qquad 1/(2\pi)=\frac1{2\pi}.\]

De la même manière les logiciels interprètent deux barres de fractions qui se suivent. Par exemple, 1/2/3=(1/2)/3=1/6. Mais heureusement personne n’écrit ça dans un texte 😉