L'espace des petits exercices en maths me semble de dimension infinie ;-)  Voici encore un nouvel élément :

Est-ce que tout nombre naturel non-nul possède un multiple qui fait intervenir tous les dix chiffres dans son écriture décimale ?

Même des questions connues et d'apparence très simple me surprennent encore. Par exemple, ce n'était que très récemment que j'ai perdu plusieurs jours à prouver en vain la convergence de cette suite — jusqu'à ce qu'on m'a appris que c'est un problème ouvert depuis très longtemps...

Après une longue absence je viens de faire un peu le ménage dans les commentaires du billet précédent sur les exercices de la liste de Vladimir Arnol'd et je me suis rendu compte que PB y a posé un petit problème que toute le monde a oublié dans la déferlante de solutions (dues pour la plupart à JLT). Le voilà, dans un billet à lui tout seul !

Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

.

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

• D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
• L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
• L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
• Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
• Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.

Vous avez un troupeau de 101 vaches vérifiant l'hypothèse suivante : chaque fois que vous prenez 100 vaches parmi elles il est possible de les séparer en deux parties de 50 vaches telle que les deux parties ont le même poids.
Démontrez que toutes les 101 vaches ont le même poids.

D'ailleurs, pour ceux qui se sont posés la question : le poids d'une vache (Bos primigenius taurus) se situe entre 500 et 800 kg, et celui d'un taureau peut atteindre 1200 kg. Evidemment cela n'a pas d'importance pour l'exercice.

Et comme je n'aime pas les billet trop courts, voici un autre exercice (indépendant du premier). Retrouvez les neuf mathématiciens célèbres cachés dans la phrase suivante :

Quand t’auras fini de classer des cartes et de les ranger, coche ici et ferme à clef la grange : la dernière fois t’as laissé tout ouvert, et les chats l’ont saccagée et ont volé des poissons.

Chaque année, lors des premières colles de prépa math sup en septembre je pose des petits exos en combinatoire élémentaire. Je trouve que ces questions de dénombrement sont instructives le débutant — genre: Pour un conseil de ministres on place n ministres autour d’une table ronde, n>2. Chaque ministre peut discuter seulement avec ses deux voisins. Combien de conseils différents peut-on former?

Voici un autre exercice (un peu plus recherché) de combinatoire sur un cercle. Peut-on placer sur un cercle 2ⁿ chiffres 1 ou 0 tel que chaque suite possible de n chiffres 1 ou 0 peut-être lue en partant quelque part sur le cercle?

J'ai acheté le numéro 391 du magazine Pour la Science (mai 2010) car il y a un article sur l'harmonie musicale. Je suis plutôt déçu de cet article (j'écrirai une autre fois pourquoi), et finalement c'est un autre, même pas mentionné sur la couverture, que je trouve beaucoup plus intéressant : Les parasites manipulateurs de F. Thomas et F. Libersat. Par exemple, un certain ver parasite influence le comportement de son hôte, une petite crevette, par des sécrétions chimiques de sorte que la crevette nage en surface au lieu de se cacher sous l'eau ; la crevette devient ainsi plus facilement proie des oiseux et ça convient au ver qui peut alors poursuivre son cycle de vie dans ce nouvel hôte plus grand.
Je vous recommande la lecture de cet article, il y a plein d'autres exemples surprenants.

A ce sujet un petit exercice de prédateur-proie (la similitude s'arrête là car il n'a rien à faire avec des questions de comportements ou de manipulation).

Casse-tête : Une mouche et deux araignées se déplacent sur les arêtes d'une cube. Toutes les trois se voient et ont la même vitesse constante. Prouver que les araignées finiront par attraper la mouche.

Dans la solution que j'ai trouvée je suppose que le temps de réaction de chaque animal est nul et qu'à tout moment l'animal peut changer de direction de mouvement. J'ignore si l'énoncé reste vrai sans ces hypothèses.

Un joli exercice de géométrie

Voici le dessin d'une route. Elle passe tout droit en plein désert, on la voit disparaître à l'horizon.
Au bord de la route il y a des poteaux, tous les quinze mètres. Le dessinateur n'en a représenté que les deux premiers. On ne tient pas compte de la courbure de la terre, c'est-à-dire la terre est supposée plate.

Question: Comment peut-on trouver, par construction sur ce dessin, les emplacements des poteaux suivants?

Réponse: Cliquez ici pour la solution.

Remarque: Peut-être plus de bacheliers L que de bacheliers S savent résoudre cet exercice!

La langue des français ne finit pas par me surprendre. Ils ne faut pas toujours prendre à la lettre ce qu'ils disent. Par exemple il a quarante balais ne signifie pas qu'il s'agit d'un collectionneur d'outils de nettoyage, non mais quel manque d'imagination de la part de l'étranger que je suis, évidemment il fallait comprendre qu'on compte ici les années...

Mais encore plus bizarres sont les deux expressions suivantes qui inversent le sens. Contrairement à ce qu'on devrait croire t'inquiète ne signifie pas inquiète-toi mais ne t'inquiète pas ! Et fais gaffe ne veut pas dire fais une gaffe mais ne fais pas de gaffe !

J'avoue qu'en ma patrie, la Bavière, aussi il y a des illogismes. Par exemple, on peut entendre des bavarois dire i hob koa Mo net gsehn. Traduction en allemand correct : ich habe keinen Mann nicht gesehen. La double-négation kein/nicht en allemand fait une affirmation, mais pas chez les bavarois car ils aiment faire chose à part du reste de l'Allemagne.

En général, une négation en mathématiques et en langue est ce qu'on appelle une involution, c'est-à-dire une opération qui appliquée deux fois nous ramène au point de départ. Comme la multiplication avec -1. Si je multiplie deux fois par -1 je retrouve le nombre initial car -(-x)=x. Un autre exemple d'involution est une réflexion, par exemple par rapport à un plan : l'image miroir d'un image miroir est l'image initial.

Blague : A Krka lors de la conférence mondiale bi-annuelle des linguistes un chercheur fait un exposé détaillé sur les principes de la double-négation. Il explique alors qu'une double-négation est équivalente à une affirmation, mais qu'une double-affirmation ne peut jamais, mais vraiment jamais produire une négation. Après une heure son exposé compliqué en MindMaps et PowerPoint, avec des matrices, des équations comme et se termine, les scientifiques s'apprêtent à applaudir quand soudainement vient du dernier rang de l'amphi un Oui, oui...

Exercice : Un condamné est dans une pièce avec deux portes, chacune gardée par un gardien. Il sait que l'une des portes amène à la liberté et l'autre à la prison et que l'un des gardiens dit toujours la vérité tandis que l'autre ment toujours. Il a le droit de poser à un gardien au choix une seule question à réponse oui/non, puis il a le droit de sortir par la porte qu'il veut. Quelle question posera-t-il et quelle porte prendra-t-il ensuite ?

Remarque : Il existe une solution bien connue. Mais il existe aussi une autre qui ne suppose même pas que chaque gardien soit au courant qu'il existe une autre porte avec un autre gardien.

Voici un exercice sur un énoncé de climatologie très théorique et inutile. Il est dédié à mon ami A. Wirth qui a quitté les maths pures pour consacrer son talent à des questions aussi appliquées que la météorologie et l'océanographie ;-)

Exercice : On assimile la terre à une boule parfaite et on suppose que la température sur la surface terrestre est une fonction continue. Montrer qu'il existe une infinité d'ensembles disjoints deux à deux {A,B} où A et B sont des points sur la surface terrestre tels que la température en A et B est la même et tels que la distance entre A et B est 1000 km.

Après l'exercice sur la mouche et les araignées voici un exercice de physique sur une mouche et un pot :

Problème: on dispose d'un pot avec couvercle et d'une balance ultra précis. On tare le pot fermé puis on introduit une mouche qui reste en vol. Si on pèse à nouveau, pèse-t-on la mouche ?

C'est un lecteur du blog qui me l'a envoyé et souhaite connaître la réponse. Je pense que la solution n'est pas difficile.

Deux exos sympas sur les matrices.

Exercice 1. Soient , k=1,...,n des matrices carrées complexes de même taille, toutes non-nulles. Existe-t-il toujours une matrice carrée A telle que

Exercice 2. On note T la transposition des matrices. Soient A,B,C,D, des matrices carrées telles que T(A)=BCD, T(B)=CDA, T(C)=DAB et T(D)=ABC. Démontrer que