Autre exercice d’arithmétique

L’espace des petits exercices en maths me semble de dimension infinie 😉  Voici encore un nouvel élément :

Est-ce que tout nombre naturel non-nul possède un multiple qui fait intervenir tous les dix chiffres dans son écriture décimale ?

Même des questions connues et d’apparence très simple me surprennent encore. Par exemple, ce n’était que très récemment que j’ai perdu plusieurs jours à prouver en vain la convergence de cette suite — jusqu’à ce qu’on m’a appris que c’est un problème ouvert depuis très longtemps…

8 réponses
  1. Faré
    Faré dit :

    Oui. Soit N un entier strictement positif. Soit A=1234567890. Soit C une puissance de dix telle que N/C < 5*10^-11 (i.e. C > N*2*10^10)). Soit D le plus petit entier tel que D*N>=C (i.e. ceiling(C,N)). (D-1)*N<C<=D*N. Soit M=A*D. Alors les premiers chiffres de M*D sont 1234567890. En effet, A*(D-1)*N<A*C<=A*D*N=M*N<A*C+A*N=A*C*(1+N/C)<A*C*(1+5*10^-11).

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  2. JLT
    JLT dit :

    Voici un autre exercice amusant : est-il vrai que tout entier non nul possède un multiple non nul ne comportant que des 0 et des 1 dans son écriture décimale?

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  3. PB
    PB dit :

    Si un entier A possède la propriété, alors 2A et 5A possède la propriété.
    En effet, si un multiple kA de A ne s’écrit qu’avec des 0 et des 1 en décimal, alors 10kA aussi et 10kA est un multiple de 2A et de 5A.

    Cette remarque nous permet de supposer que A est premier avec 10. Alors une puissance de 10, disons 10^u, est congrue à 1 modulo A (application de la théorie des groupes finis en arithmétique). Les puissances de 10^u sont donc aussi congrus à 1 modulo A. Donc le nombre :

    1+10^u+10^(2u)+…+10^((A-1)u) est congru à A modulo A, c.a.d. est un multiple de A, et il répond à la question.

    Exemple concret avec A=14. On commence par le cas de 7=A/2.
    On constate que 10^6 est congru à 1 modulo 7 (ou on connait le petit théorème de Fermat). Donc :
    1+10^6+10^12+10^18+10^24+10^30+10^36 est multiple de 7.
    Et donc :
    10+10^7+10^13+10^19+10^25+10^31+10^37 est multiple de 14.

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  4. Faré
    Faré dit :

    @JLT
    Soit \(N\) un entier strictement positif. Le semi-groupe multiplicatif modulo \(N\) étant fini, la suite \(10^n\) n’est pas injective, et il existe deux entiers \(K\) et \(L\) strictement positifs, dont la différence \(P=L-K\) est strictement positive, tels que \(10^{K+P}=10^L=10^K\). Dès lors, on voit que \(10^{K+i*P}=10^K\), et que \(\sum_{i=0…N-1}{10^{K+iP}}\) est divisible par N.

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  5. Fabien Besnard
    Fabien Besnard dit :

    >Par exemple, ce n’était que très récemment que j’ai perdu plusieurs jours à prouver en vain la convergence de cette suite

    Ne t’en fais pas, je crois que tous les matheux ont secrètement essayé de démontrer Syracuse. (Moi je me souviens, c’était en prépa…)

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  6. MathOMan
    MathOMan dit :

    @ Fabien : Oui, toi tu étais en prépa… mais moi, je ne suis plus naïf, je n’ai pas envie de réfléchir sur des problèmes comme ça, ouverts depuis longtemps… Simplement, ma maigre culture mathématique faisait que je ne connaissais pas ce problème auparavant et la personne qui me l’a posé disait qu’il y aurait une preuve par une récurrence astucieuse (mais c’était faux).

    @ Fare : Merci pour cette indication concernant l’éditeur de maths pour pages web MathJAX. Tu l’as installé sur ton blog ?

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