Un porte-à-faux avec des pièces de domino
En architecture un porte-à-faux est une construction qui est supportée par une partie qui est elle-même au-dessus du vide. Avec des pièces de domino on peut faire, par exemple, une structure de type porte-à-faux comme suit.
Porte-à-faux avec des dominos
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Exercice (envoyé par un ami matheux) : On dispose d’une infinité de pièces des dominos identiques. En les empilant sans colle peut-on rendre aussi grand que l’on veut la distance d indiquée dans le graphique ci-dessus ?
C’est l’occasion de présenter un ami de mes années d’études à Nice : Sissimos Livas, un spécialiste des empilement d’objets en équilibre stable-instable. Voici un petit film de souvenir que j’avais tourné (en pellicule super8 pleine de poussières…) avec cet équilibriste exceptionnel. Aujourd’hui Sissimos exerce comme physiothérapeute près de Zurich et s’il met en équilibre principalement les colonnes vertébrales de ses patients il continue toujours de perfectionner son art sur l’équilibre des objets.
Je connais le truc : on utilise la série harmonique (qui diverge) …
Mais j’avoue ne jamais avoir été convaincu (quand j’essaye avec mes boîtes de CD, ça s’effondre). Une petite image pour finir :
> ça s’effondre
Ce n’est pas étonnant car ton empilement est de plus en plus large en haut, tandis que l’inverse devrait être le cas. Supposons que tes dominos sont toutes de longueur 2. Considérons les deux pièces tout en haut de ton empilement. Ils partagent une frontière de longueur 1 et leur centre de gravité se trouve au milieu de cette frontière. D’après ton dessin la pièce suivante est donc trop à la droite pour le soutenir….
PS : Tu as encore des boîtes de CD ? D’après tout ce que j’ai pu lire sur ton blog je pensais que tu avais « dématérialisé » toute la musique en fichiers *.ogg.
Es-tu sûr que c’est l’inverse qui devrait être le cas ?
PS : j’ai encore toutes mes boîtes de CD, dont certaines (peu) ne sont pas dématérialisées au format ogg. Dans certains cas, je ne regrette pas d’avoir rapidement fait la manip : un de mes CD de Keith Jarrett est devenu en partie illisible (comme "rayé") peu de temps après l’achat !
Oui bien sûr, tu as raison, c’est en haut que c’est plus large. Néanmoins le début de l’empilement sur ton dessin ne marche pas pour la raison que j’ai écrite.
En fait, dans le raisonnement il faut partir du haut vers le bas. Si on note 1, 2, 3, … les dominos en commençant par le haut alors, pour tout n, le centre de gravité Gn des dominos 1, … , n doit se trouver au-dessus du domino n+1 et ne pas au-dessus du vide.
Voici quelques dessins avec des pièces de largeur 2. On voit bien comment on arrive à la série harmonique
Et puisque cette dernière diverge (très lentement…) vers l’infini on peut (en théorie) construire un porte-faux aussi large qu’on veut.