Utiliser un grand canon pour un moineau

Par MathOMan, mercredi 8 avril 2009 à 12:37 - Maths pour tous - Tags - RSS

Récemment en colle d'arithmétique j'ai posé la question suivante :

Soient x, y, z trois entiers vérifiant

$x^3 + y^3 = z^3\,.$

Montrer qu’au moins un parmi eux est divisible par 3.

La solution que j'attendais de l'élève n'est pas compliquée (faire une preuve par l'absurde en étudiant l'équation modulo 9) mais depuis 1994 cette question classique semble devenue obsolète — enfin, je ne sais pas vraiment car je ne comprends pas la preuve du théorème de Wiles-Fermat... Qui peut donc m'éclaircir et me dire si la preuve de Wiles utilise ou non le résultat de cette innocente question de colle ?

Explication pour les non-matheux

Dans le 17ème siècle Pierre de Fermat écrivit sur la marge d'un livre que si n est un nombre entier strictement plus grand que 2 alors il n'existe pas de nombres entier non-nuls x, y, z vérifiant

$x^n + y^n = z^n\,$ .

Il ne donna pas de preuve et écrivit seulement J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.
Pendant 300 ans les mathématiciens ont cherché une preuve de cette conjecture de Fermat, mais en vain. C'est seulement en 1994 qu'Andrew Wiles a réussi de la prouver ! Désormais la conjecture de Fermat est devenu le théorème de Fermat-Wiles. Sa preuve utilise des techniques très avancées. On est convaincu aujourd'hui que la preuve mentionnée par Fermat, celle qui était trop longue pour la marge, était eronnée.

Si on utilise le théorème de Fermat-Wiles la question de colle devient trivial. En effet, si trois entiers vérifient l'équation, alors au moins un parmi eux est nul et donc divisible par 3.

Pour revenir à l'histoire de ce théorème : à mon avis elle est typique à plusieurs titres pour la recherche en mathématiques :

D'abord l'équation de Fermat est une généralisation d'une autre que tout le monde connaît, à savoir l'équation de Pythagore a²+b²=c². Il existe des entiers non-nuls qui la vérifient, par exemple 3²+4²=5² ; c'est-à-dire on peut construire un triangle rectangle de côtés entiers.
L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles est tellement simple que tout collégien peut le comprendre mais sa démonstration est tellement difficile que seulement quelques spécialistes la comprennent.
L'énoncé n'a aucune application dans les sciences et ne possède, à ma connaissance, même pas de conséquences importantes en mathématiques. Son seul intérêt est sa beauté.
Des générations de mathématiciens ont cherché à prouver cette conjecture. Ils l'ont fait pour l'honneur de l'esprit humain, sans penser à des applications, mais les outils mathématiques qu'ils ont développés ont fait avancer toute la science.
Les ordinateurs ne peuvent jamais démontrer une telle conjecture car il faudrait tester l'équation sur une infinité de nombres ; ils peuvent seulement la rendre plausible.

Commentaires

1. Le jeudi 9 avril 2009 à 10:23, par PB

Le théorème de Fermat pour n=3 est quand même bien plus simple que le cas général. Sauf erreur, c'est Euler qui l'a résolu.

Je ne sais pas bien si la preuve utilise l'exercice de colle, ce n'est pas impossible.

Ce que je sais, c'est qu'on écrit :
$x^3+y^3=z^3$ sous la forme $x^3=(z-y)(z-jy)(z-j^2y)$ et qu'on utilise le fait que l'anneau $\mathbf Z[j]$ est factoriel...

2. Le jeudi 9 avril 2009 à 16:09, par MathOMan

Merci pour cette précision ; c'est bien d'avoir un spécialiste en théorie des nombres parmi les lecteurs du blog !

3. Le vendredi 10 avril 2009 à 08:42, par jean-marc schlenker

Je crois que le post pose bien la question : le niveau de sophistication de la preuve de
Wiles est tellement supérieure que ça n'a pas forcément de sens de demander si, à
un endroit ou un autre, elle utilise des arguments de ce type...

C'est que c'est un peu comme demander si un certain type
de boulon est utilisé dans la nouvelle peugeot 207. Peut-être que ce boulon
n'est pas physiquement présent dans la voiture, mais de là à vérifier qu'il n'est
pas utilisé dans l'une des machines qui ont servi à la construire, ou dans l'une
des machines qui ont servi à construire les machines précédentes...
C'est clair que le calcul dans Z/pZ est utilisé dans la preuve de Wiles ;-)

4. Le samedi 20 mars 2010 à 00:55, par Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

Bonjour,

Voici une preuve directe du GTF n'utilisant que des outils de l'arithmétique connus de Fermat et de ceux qui l'ont précédé.

happy-arabia.org/GTFpreuve.pdf

Bonne lecture
Cordialement
Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

5. Le samedi 12 juin 2010 à 01:19, par Faré

Euh, un ordinateur n'est pas obligé d'utiliser la force brute pour énumérer les triplets. En fait, un ordinateur peut fort bien utiliser des outils de preuve formelle (du genre Coq) pour établir des théorèmes comme celui de Fermat-Wiles. S'il n'y avait pas de problème de ressource, un ordinateur pourrait même faire une recherche par force brute sur toutes les preuves possibles pour en trouver une qui établisse le théorème. Bien sûr, les ressources étant finies et bornées, une telle méthode ne réussira pas sans un bon guidage dans l'espace des preuves. la question est de savoir combien de guidage humain l'ordinateur requiert pour trouver la preuve. On est bien loin d'une Intelligence Artificielle qui étant donné un énoncé mathématique démontrable arbitraire trouverait sans guidage une preuve plus vite qu'un humain.

6. Le samedi 12 juin 2010 à 14:45, par Faré

@Ahmed ta preuve sera prise plus au sérieux si tu la fais en Coq... sinon tout le monde s'en remettra à l'argument d'autorité "si c'était aussi simple, ça se saurait..."

7. Le lundi 14 juin 2010 à 10:57, par Calculatrice en ligne

Je viens de découvrir votre blog et les problèmes de maths posés me donne le vertige :-)

8. Le mardi 28 décembre 2010 à 20:35, par Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

A tout lecteur et en particulier @Faré :

Bonjour.
Bonnes fêtes
et bonne lecture :

*
L’irréductibilité de polynômes et le théorème de Fermat-Wiles.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere : cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Pierre de Fermat

Démonstration du Théorème de Fermat-Wiles par l’irréductibilité de polynômes.
Résumé :
Etant donnée l’équation de Fermat x^n+y^n-z^n=0 , où x,y,z,n sont des entiers positifs, n>2 et p premier >2, le polynôme P(X) associé à l’équation x^p+y^p-z^p=0 et le polynôme Q(X) associé à l’équation x^4+y^4-z^4=0 étant irréductibles dans Z[X] n’ont pas de racines entières et, par conséquent, la marge m=x+y-z n’est pas un entier, ce qui est contradictoire.
Et par suite, l’égalité z^n = x^n + y^n , où x,y,z,n sont des entiers positifs et n>2, est impossible.

Preuve :
Soit l’équation x^n+y^n-z^n=0, où x,y,z,n sont des entiers positifs et n>2.
En posant m = x+y-z, on peut écrire :
x = (x+y-z)+z-y = m+u , avec u=z-y
y = (x+y-z)+z-x = m+v , avec v=z-x
z = (x+y-z)+(z-y)+(z-x) = m+u+v = m+w, w=u+v.
Remarques :
- Dans une équation m est une variable entière et dans une égalité m est un nombre entier. Dans tous les cas, u, v, w et n sont des nombres entiers.
- Les polynômes examinés sont unitaires et, par conséquence, primitifs.

En posant x=m+u, y=m+v et z=m+w dans x^n+y^n-z^n=0, on obtient l’équation :
(1) (m+u)^n + (m+v)^n - (m+w)^n = 0 , avec w=u+v.

Puisque n>2, n est multiple de 4 ou d’un nombre premier p>2, il suffit de considérer le cas n=p et le cas n=4.

Avec n=p, l’équation (1) peut s’écrire :
(2) ((m-2)+(u+2))^p + ((m-2)+(v+2))^p - ((m-2)+(w+2))^p = 0, avec w=u+v.
Soit P(X) le polynôme associé à (2) :
(3) P(X) = (X+(u+2))^p + (X+(v+2))^p - (X+(w+2))^p , avec X=m-2.
L’application de la réduction modulo p à P(X), avec u^p+v^p-w^p = u+v-w=0 [p] et 2^p=2 [p], donne : P(X)= X^p+2 [p].
Le polynôme X^p+2 est irréductible dans (Z/pZ) [X] (irrationalité de 2^(1/p), critère d’irréductibilité d’Eisenstein) et par suite le polynôme P(X) est irréductible dans Z[X].
Le polynôme P(X), étant irréductible dans Z[X], n’a pas de racines entières et, par équivalence, l’équation (2) n’a pas de solutions entières pour m, ce qui est contradictoire.
Et par suite, l’égalité x^p + y^p - z^p = 0, où x,y,z sont des entiers positifs et p premier >2, est impossible.

Avec n=4, l’équation (1) peut s’écrire :
(4) ((m-1)+(u+1))^4 + ((m-1)+(v+1))^4 - ((m-1)+(w+1))^4 = 0, avec w=u+v.
Soit P(X) le polynôme associé à (4) :
(5) P(X) = (X+(u+1))^4 + (X+(v+1))^4 - (X+(w+1))^4 , avec X=m-1.
L’application de la réduction modulo 2 à P(X), avec w^4-u^4-v^4 = w-u-v=0 [2], donne :
P(X) = X^4+1 [2], polynôme qui, par le changement de variable Y=X^2, devient le polynôme équivalent : Q(Y)=Y^2+1 [2].
Le polynôme Y^2+1 est irréductible dans (Z/2Z) [X] (polynôme de degré 2 et de discriminant négatif) et par suite le polynôme P(X) est irréductible dans Z[X].
Le polynôme P(X), étant irréductible dans Z[X], n’a pas de racines entières et, par équivalence, l’équation (4) n’a pas de solutions entières pour m, ce qui est contradictoire.
Et par suite, l’égalité x^4 + y^4 - z^4 = 0, où x,y,z sont des entiers positifs, est impossible.

Ainsi, l’égalité z^n = x^n + y^n , où x,y,z,n sont des entiers positifs et n>2, est impossible.

Ahmed Idrissi Bouyahyaoui
INPI – Paris

*

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Carte d'anniversaire mathématique

Par Mathoman, dimanche 5 juillet 2009 à 19:50 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

C'est le moment de transmettre à mon père mes vœux d'anniversaire en forme d'une petite devinette.

Aujourd'hui, dimanche 5 juillet 2009, mon père fête son anniversaire. Il est né un dimanche dans une année bissextile. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

Pour résoudre cet exercice je conseille d'effectuer les calculs dans des groupes cycliques. En plus on peut utiliser le fait que j'ai plus de vingt-trois ans, que mon père aussi avait plus de vingt-trois ans lorsqu'il a pris la responsabilité de devenir mon père et, enfin, qu'il n'est pas centenaire...

En tout cas je te souhaite une bonne fête d'anniversaire, papa !

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Casse-tête avec la moquette

Par Mathoman, mercredi 1 octobre 2008 à 01:14 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Vous achetez une moquette pour couvrir le sol d'une pièce qui fait 9m x 12m. Le vendeur vous donne deux morceaux, 10m x 10m et 1m x 8m.
Vous protestez: "La superficie totale est bien celle de ma chambre mais ce ne sont pas les bonnes tailles!"
Le vendeur: "Je vous rassure, il suffit de couper le grand morceau en deux, ensuite vos trois morceaux rentreront parfaitement.''
Mais arrivé à la maison vous avez du mal à suivre le conseil du vendeur — et pourtant c'est possible! Quelle coupe faut-il faire?

Couper le grand morceaux de moquette en deux

Cliquez ici pour la solution de ce casse-tête.

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Pourquoi je demande à tracer des courbes à la main

Par Mathoman, lundi 4 octobre 2010 à 10:10 - Enseigner les maths - Tags

Personnellement je pense que les calculatrices et TICE (Technologies de l'information et de la communication pour l'éducation) devraient être utilisées avec prudence dans les cours de mathématiques. La raison est simplement que ça va trop vite pour qu'un élève ou étudiant comprenne les nouvelles notions qu'il rencontre. C'est à nous, les enseignants, de choisir des exemples numériques où les calculs ne se compliquent pas trop et qui font dégager l'essentiel. Le danger des TICE c'est que souvent elles font primer la quantité sur la qualité. Or je pense qu'un élève qui trace lui-même sur sa feuille cinq paraboles bien choisis va comprendre plus de choses que s'il en voit vingt paraboles défiler sur un écran.

Le fait que beaucoup de bacheliers quittent l'école sans maîtriser les fondements en calcul a été (et est toujours) discuté amplement dans ce blog. Aujourd'hui je veux insister sur un autre point, la capacité de tracer à la main les courbes de fonction simples. Dans mes cours sur les fonctions trigonométriques j'insiste sur des dessins soignés des fonctions sinus, cosinus, tangente, arcsinus, arccosinus et arctangente dans une repère orthonormé. Je fais ces dessins au tableau et je passe dans les rangs pour vérifier si les étudiants les ont bien faits ; si ce n'est pas le cas je leur demande de les refaire chez eux.

Evidemment le dessin ne peut pas être aussi précis que celui qui sort d'un ordinateur. Mais en insistant sur deux choses on arrive quand même à un tracé correct :

Utiliser quelques valeurs particulières. Par exemple la courbe de la tangente passe par le point de coordonnées $(\frac\pi4,\,1)$ . Et afin de trouver pour l'abscisse la valeur approximative 0,8 un étudiant faible doit déjà réfléchir un peu...

La pente de la tangente à l'origine du sinus est sin'(0)=cos(0)=1. Placer des petits traits de pente 1 ou -1 aux points où le sinus s'annule est un bon réflexe qui permet d'augmenter sensiblement la précision du tracé de la courbe. En même temps cela rappelle la notion de la dérivée comme taux d'accroissement local...

D'ailleurs, j'ai un message à passer aux professeurs de math au collège et lycée : Travaillez moins ! Ne me comprenez pas mal ;-) Par cela je veux dire que les professeurs ne devraient plus faire le travail à la place de leurs élèves et donc ne plus fournir de repère prêt-à-utiliser sur la feuille d'énoncé. Déjà le choix d'une repère est un tâche intellectuelle importante à accomplir par l'élève : quelles échelles sur les deux axes sont adaptées à mon graphique ? quelle région veux-je représenter ?

Vu le nombre de bacheliers S qui ont du mal à dessiner correctement en moins d'une minute une parabole comme y=½(x-1)²+1 il serait souhaitable de revenir à ces concepts qui ont l'air vieux-jeu mais en réalité ne le sont pas car celui qui les a compris a compris bien plus que de faire un simple dessin.
Déjà au collège quand on trace la parabole standard y=x² à la main c'est l'occasion de comprendre plein de choses, comme par exemple que x<x² lorsque x est plus grand que 1, tandis que x>x² lorsque x est compris entre 0 et 1.

Le tracé d'une courbe doit si possible faire apparaître les propriétés essentielles, comme les intersections avec les axes, les pentes en ces intersections, les extréma, des éventuels asymptotes,...
Si l'on négligence ces choses-là ça donne des intersections fantaisistes entre la courbe de la fonction tangente et celle de sa réciproque, enseignées aux étudiants d'un établissement d'enseignement supérieur américain réputé d'être l'un des meilleurs du monde (rang 4 au classement de Shanghaï 2010) :

Cours filmé au MIT — Tracés complètement faux de tan et arctan !

Heureusement le reste de ce cours pris en vidéo semble de meilleure qualité.

Question pour mes étudiants : Cherchez l'erreur !

Cet enseignant a probablement vu trop d'images dans des repères à échelles distinctes sur l'abscisse et l'ordonnée, comme celle-ci au lieu de celle-là. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle je demande toujours de tracer les fonctions trigonométriques dans un repère orthonormé.

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Question de codimension en algèbre linéaire

Par Mathoman, lundi 11 mai 2009 à 21:59 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Je collectionne constamment des exercices de maths intéressants et accéssibles aux élèves niveau prépa ou licence. On en trouve beaucoup dans les livres, sur internet, sur les vieilles feuilles d'exercices de ses propres professeurs... et quelques fois en invente soi-même ! Voici une question intéressante qui m'est venue le week-end dernier. La solution que j'ai trouvée ne nécessite pas de grand théorème, il faut seulement bien maîtriser ses connaissances élémentaires en algèbre linéaire :

Quel est le plus grand entier k tel que tout sous-espace affine de codimension k dans l'espace des matrices n x n contient une matrice inversible ?

Rappel : la codimension d'un sous-espace est la différence entre la dimension de l'espace ambiant et la dimension du sous-espace. Autrement dit, c'est le nombre d'équations nécessaires pour décrire le sous-espace (car chaque équation enlève un degré de liberté). Par exemple, dans l'espace habituel à trois dimensions la codimension d'une droite est 2, celle d'un plan est 1.

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Trouver le contour du tore

Par Mathoman, dimanche 10 avril 2011 à 19:08 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Hier soir j'étais chez mon ami artiste-développeur Eric Wenger. Il m'a présenté la nouvelle version de l'un des logiciels dont il est le créateur. Il s'agit d'ArtMatic Voyager avec lequel on peut créer des paysages infinis avec plantes, et beaucoup d'autres choses sans utiliser de bases de données préfabriquées...
Les projections des objets en trois dimensions sur un plan font donc partie du quotidien d'Eric. Voici un bel exercice de géométrie dans l'espace:

Décrire analytiquement le contour d'un tore de rayons r et R en fonction de l'angle $\alpha$ entre le plan du tore et la droite entre le centre du tore et l'oeil.

Le contour possède une seule partie connexe lorsque $\alpha$ est petit. Lorsque $\alpha$ augmente une deuxième partie connexe apparaît à l'intérieur; elle est d'abord singulière, puis lisse. Mais qu'est-ce que ça donne analytiquement? Des ellipses?

Différentes positions d'un tore dans l'espace

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Cours gratuits en vidéo

Par Mathoman, dimanche 29 mars 2009 à 12:05 - Apprendre les maths - Tags

De plus en plus de sites proposent des cours en vidéo. Comme le cours suivant sur les fonctions continues, destiné aux élèves de terminale S ou ES :

Netprof.fr propose également le fichier pdf de ce cours. On peut être d'un avis partagé sur la qualité de ces cours (par exemple, dans la vidéo ci-dessus on ne distingue pas vraiment entre ce qui est définition et ce qui est proposition ou entre ce qui est démontré et ce qui est admis — le prof demande à l'élève d'apprendre par cœur que les fonctions polynômiaux sont continues, puis dans le premier exercice qui suit il en traite un cas particulier sans utiliser ce fait...), mais en tout cas c'est une très belle initiative. L'internaute pourra passer des journées entières à s'instruire sur le web.

A un niveau bien plus élévé, le site Videolectures propose des colloques filmés dans des centres de recherche et des universités, comme cet exposé de Gregory Chaitin intitulé

Un siècle de controverses sur les fondations des mathématiques

Il propose également les notes de son exposé...

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Calcul des fractions sur une partition de musique

Par Mathoman, mercredi 4 mars 2009 à 20:24 - Maths pour tous - Tags

Les professeurs de maths au collège embêtent les élèves avec des questions comme

Quel nombre est plus grand, 3/4 ou 7/9 ?

Avant l'arrivée des logiciels d'impression musicale, les imprimeurs de partitions de musique devaient bien maîtriser ce genre de calcul de fractions pour faire les bons alignements verticaux.

partition

Par exemple dans la première mesure de l'extrait ci-dessus, où les violons sont en 3/4 et les autres en 4/4, il fallait bien réfléchir si le la indiqué en rouge doit être placé avant le ré indiqué en vert. En fait, le la est attaqué avant le ré car 1/5 est un peu plus grand que 3/16.

Clairement il s'agit là de questions assez théoriques parce que le tempo de cette musique est rapide et qu'on n'entend pas ces détails dans le tutti de l'orchestre (un aperçu de le page entière de cette partition est ici.) Et les violonistes ne se demandent probablement pas pourquoi ils doivent jouer leurs 5-uplets légèrement plus vite que les triplets qui se trouvent dans les mesures suivantes !

Question : qui a composé cette musique ?
Indication : il s'agit d'un ballet écrit pour les fameux Ballets Russes de Diaghilev à Paris.

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Un petit exo, un powerpoint et un porte-craie

Par Mathoman, jeudi 25 novembre 2010 à 13:10 - Exo, enigme, casse-tête - Tags

Hier j'ai reçu deux choses amusantes (un exercice et un document powerpoint) que je vais partager avec vous ainsi qu'un outil pratique :

Exercice : Trouver toutes le fonctions injectives f de l'ensemble des nombres naturels dans lui-même telles que f(f(n)) est inférieur ou égal à (n+f(n))/2 pour tout naturel n.

Powerpoint : Le français est choisi comme langue européenne (document pps).
Bonne lecture, votre bloggeur Perna !

Outil pratique pour le prof : Pour nos cours nous, mathématiciens, préférons la craie au powerpoint, pour des raisons didactiques. Et nous préférons la craie aux feutres sur tableaux blancs, pour des raisons de développement durable. Mais le problème avec la craie c'est qu'après il faut se nettoyer les mains, comme le fait sur la photo ci-dessous mon ami J.P. Marco avant de recevoir les handshakes de certains auditeurs de son brillant exposé :

CQFD — et Jean-Pierre Marco se frotte les mains

Depuis hier j'utilise un porte-craie. Il évite de se salir les mains et en plus, grâce à un mécanisme qui tient la craie, on peut utiliser les bouts de craie jusqu'à leur fin ce qui fera, à long terme, des économies de consommation de craie. On en trouve deux modèles, pour des craies de diamètre 12mm et pour des craies de diamètre 10mm.

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Oeuf de pâques

Par Mathoman, mardi 4 mai 2010 à 11:57 - Maths pour tous - Tags

Je viens de recevoir le message suivant :

Je suis à la recherche de ce que serait l'équation d'une ovoïde ayant pour axe de symétrie l'axe des y. J'ai bien trouvé ceci :
a(1+ky)x² + by² = 1
Mais la figure associée semble avoir l'axe des x pour axe de symétrie. De plus, j'aimerais connaître l'incidence des divers coefficients sur le tracé de la courbe.
Pouvez-vous m'aider ?
Bien cordialement, Jean-Christian Dubau

Voici quelques éléments de réponse.

D'abord pour changer les axes il vous suffit de changer dans votre équation les rôles de x et y. Mais votre équation est bien celle d'une courbe symétrique par rapport à l'axe des y ; en effet, l'équation reste inchangée si on remplace (x,y) par (-x,y).
Le mieux pour connaître l'incidence des coefficients a, k et b est de les essayer, par exemple en entrant 2(1+3y)x² + 4y² = 1 sur WolphramAlpha. Vous pouvez aussi utiliser le logiciel gratuit Graphmatica ; attention, avec ce logiciel il faut entrer les multiplicatio ns et les exposants sous la forme a*(1+k*y)*x^2 + b*y^2 = 1.
D'où tenez-vous cette équation ? A mon avis le terme 1+ky devrait être au numérateur, comme ceci
ax²/(1+ky)+ by² = 1.
Le signe de k (positif ou négatif) devrait influencer si votre œuf est large en bas ou en haut. Les valeurs positives de a et b vont faire un ovale plus haut ou plus large en général.
Je vous propose l'équation sous une autre forme, 13x²=y(y-3)(y-4). (Si vous remplacez le x² par un simple x alors vous allez comprendre pourquoi on obtient un ovale par cette équation.) Jouez sur les nombres 13, 3 et 4 pour changer la forme de la courbe. Voici ce que ça donne avec Graphmatica :
Vous trouverez d'autres equations ici.

Etant en voyage, je ne peux pas répondre plus longuement, mais peut-être certains de mes lecteurs pourront vous aider davantage.

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Question autour d'une singularité essentielle et le théorème de Picard

Par Mathoman, jeudi 18 septembre 2008 à 17:18 - Conjecture - Tags

A la fin de mon article Hyperelliptic action integral, Annales de l'institut Fourier 49(1), p. 303–331, j'ose la conjecture suivante:

Une conjecture autour d'une singularité.
Soit D le disque unité du plan complexe et $U_1,U_2,\,\dots\,,U_n$ un recouvrement du disque épointé D*= D\{0} par des ouverts. Sur chaque ouvert $U_j$ soit $f_j$ une fonction holomorphe injective telle que $df_j=df_k$ sur toutes les intersections $U_j\cap U_k$ . Alors ces différentielles se recollent en une 1-forme méromorphe sur D.

Il est clair que la 1-forme est holomorphe sur D*. Si son résidu est nul, alors la conjecture découle facilement du grand théorème de Picard, cité ci-dessous. Mais si le résidu est non-nul, je ne sais pas la démontrer.
Toute preuve ou tout contre-exemple sont les bienvenus — à vrai dire les contre-exemples un peu moins car je crois (guidé par mon intuition géométrique des surfaces de Riemann) que cette conjecture est vraie...

En 1880 Charles Emile Picard (1856-1941) prouva le théorème suivant.

Grand théorème de Picard.
Une fonction holomorphe ayant une singularité essentielle prend, sur tout voisinage de cette singularité, tout nombre complexe une infinité de fois comme valeur, sauf peut-être un.

Exemple typique pour le théorème de Picard

La fonction définie par

$\:f(z)=e^{1/z}=\sum_{k=0}^{\infty}\:\frac1{k!z^k}\;$

est holomorphe sur $\mathbb{C}\backslash0$ et possède une singularité essentielle en $0$ . L'image de f épargne-t-il une valeur (Picard dit "sauf peut-être un")? Oui, et comme $f(z)\neq0$ pour tout $z\in\mathbb{C}\backslash0$ , cette valeur épargnée est forcément zéro; le théorème affirme alors que pour tout nombre complexe $w\neq0$ et pour tout $\epsilon>0$ il existe une infinité de nombres complexes $z$ tels que $0<|z|<\epsilon$ et $f(z)=w$ .

Calcul direct avec cet exemple

Dans l'exemple ci-dessus on peut se debrouiller par un calcul direct sans invoquer le théorème de Picard. En effet, fixons un nombre complexe non-nul $w$ et un $\epsilon>0.$ Il existe alors deux réels $r>0$ et $\varphi$ tels que

$w=re^{i\varphi}.$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ posons $u_n=\ln r+i(\varphi+2\pi n)$ et $z_n=1/{u_n}.$ Alors $\lim_{n\to\infty}z_n=0$ .
Ainsi on a on a

$f(z_n)=e^{u_n}=e^{\ln r+i(\varphi+2\pi n)}=re^{i \varphi}=w.$

Par conséquence, en prenant $n$ assez grand, on voit que $w$ possède une infinité d'antécédents dans le disque épointé $0<\,|z|\,<\epsilon$ .

Un exemple moins évident

Notons P l'ensemble des nombres premiers et considérons la fonction définie par

$g(z)=\sum_{p \in P}^{}\frac{1}{p!z^p}$ .

On peut appliquer le théorème de Picard, car il y a une singularité essentielle à l'origine.
En revanche, il me semble impossible de faire un calcul explicite...

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