Quand on dit que quelqu’un a une bonne vision dans l’espace, c’est pour exprimer que cette personne est capable de restituer à partir des informations d’un dessin 2-dimensionnel (par exemple sur une feuille de papier ou à l’écran de votre ordinateur) la position d’un objet dans l’espace 3-dimensionnel. Ce qui est facile pour certains peut […]
Après les maths et la musique, voici une petite détente avec l’art et la musique. Le groupe Hold Your Horses! a produit un très beau clip musical où les membres du groupe font un voyage à travers l’histoire de l’art. Aux dernières siècles, avant l’apparition du grammophone, puis de la radio et de la télé, […]
Mon dernier billet où on parlait de racines multiples de polynômes m’a rappelé quelques souvenirs de notions que j’avais apprises pendant ma maîtrise. Le résultant de deux polynômes Considérons deux polynômes \(P=a_0+a_1 X+a_2 X^2+\,\cdots\,+a_n X^n,\;Q=b_0+b_1 X+b_2 X^2+\,\cdots\,+b_m X^m.\) Leur résultant R(P,Q) est le déterminant de la matrice de Sylvester, matrice carré d’ordre m+n dont on […]
Un polynôme est unitaire (ou normalisé) si le coefficient de son terme de plus haut degré est 1. Voici un exercice instructif sur les polynômes unitaires. Soient a et b deux nombres complexes distincts et P et Q des polynômes unitaires dans \(\mathbb{C}\)[X]. Si l’ensemble des nombres complexes où P prend la valeur a est […]
Des élèves qui ne viennent pas le jour du contrôle, c’est l’horreur de tout prof qui doit alors concocter un deuxième sujet pour le rattrapage. On comprend donc que très souvent ce deuxième sujet sera un peu plus difficile… Voici une belle petite histoire que des collègues m’ont écrite : Ce sont quatre taupins qui ont […]
Comment trouver l’amour de sa vie ? Comment se caser ? Comment former un bon couple ? Ce type de questions préoccupe beaucoup de gens. Voici une version matheux de ce problème fondamentale. Le problème de mariage ou le problème de former les bons couples Supposons que nous avons n femmes et n hommes, tous célibataires et prêts […]
Soit A la matrice carrée d’ordre 20 définie par les propriétés suivantes : le coefficient d’indice (j,k) vaut 0 si k=j, le coefficient d’indice (j,k) vaut 4 si k–j est pair et non-nul, le coefficient d’indice (j,k) vaut 5 si k–j est impair. Montrer que la matrice A est inversible (sur le corps des rationnels).
Tout étudiant apprend les formules \(\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2\,, \qquad \qquad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,,\qquad\qquad n\in\mathbb{N}\,.\) Soit p un entier positif. Montrer que, plus généralement, la somme des premiers n termes de la suite \(k^p\) avec \(k\geq1\) est un polynôme rationnel en n de degré p+1.
Notre ami bloggeur PB a raison de se plaindre sur le niveau d’orthographe des bacheliers qui sortent des lycées de nos jours. Je trouve très souvent dans leurs rédactions en colles des choses comme ce therme en x² est… Le traitement de l’h par les jeunes est vraiment stupéfiant ! Jeux de mots L’Arithmétique, c’est comme […]
Après quelques exercices plutôt abstraites, voici une belle question de géométrie dans l’espace. On dit qu’un objet dans l’espace est invariant par rapport à un axe de rotation si toute rotation autour de cet axe transforme l’objet en lui-même. Par exemple un cylindre droit (ou un cône droit) est invariant par rapport à son axe […]
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